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初二勾股定理简洁证明方法

2019-12-13 09:54:41文/陶凯月

中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。

初二勾股定理简洁证明方法

中国勾股定理证明方法

画两个边长为(a+b)的正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边。这两个正方形全等,故面积相等。

有四个与原直角三角形全等的三角形,左右四个三角形面积之和必相等。从左右中都把四个三角形去掉,图形剩下部分的面积必相等。左剩下两个正方形,分别以a、b为边。右剩下以c为边的正方形。于是a^2+b^2=c^2。

这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单,任何人都看得懂。

欧几里得证法

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中,我们需要如下四个辅助定理:

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS)

三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。

证明的思路为:从A点划一直线至对边,使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二,把上方的两个正方形,通过等高同底的三角形,以其面积关系,转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形,其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线,分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD,形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G共线,同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角,所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB,BD=BC,所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上,所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上,所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证,四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加,AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL,BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形,因此AB²+AC²=BC²,即a²+b²=c²。

此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的。

由于这个定理的证明依赖于平行公理,而且从这个定理可以推出平行公理,很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件,一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。

青朱出入图证明方法

青朱出入图,是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法,特色鲜明、通俗易懂。

刘徽描述此图,“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。”其大意为,一个任意直角三角形,以勾宽作红色正方形即朱方,以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列,再以盈补虚,分割线内不动,线外则“各从其类”,以合成弦的正方形即弦方,弦方开方即为弦长。

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