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虚数的实际意义及运算公式

2019-12-12 09:05:21文/颜雨

在数学中,虚数就是形如a+b*i的数,其中a,b是实数,且b≠0,i²=-1。接下来给大家分享虚数的实际意义和运算公式。

虚数的实际意义及运算公式

虚数的实际意义

一切事物的值都可表示为:a+bi,而不是单有实数。

我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数,那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数,称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。在此时,一点P坐标为P(a,bi),将坐标乘上i即点绕圆心逆时针旋转90度。

不能满足于上述图像解释的同学或学者可参考以下题目和说明:

若存在一个数,它的倒数等于它的相反数(或者它的倒数的相反数为其自身),这个数是什么形式?

根据这一要求,可以给出如下方程:-x=(1/x)。

不难得知,这个方程的解x=±i(虚数单位)

由此,若有代数式t'=ti,我们将i理解为从t的单位到t'的单位之间的转换单位,则t'=ti将被理解为

-t'=1/t,即t'=-1/t。

这一表达式在几何空间上的意义不大,但若配合狭义相对论,在时间上理解,则可以解释若相对运动速度可以大于光速c,相对时间间隔产生的虚数值,实质上是其实数值的负倒数。也就是所谓回到过去的时间间隔数值可以由此计算出来。

虚数成为微晶片和数字压缩算法设计中的核心工具,虚数是引发电子学革命的量子力学的理论基础。

虚数是用来表示事物中无法构成抽象概念的因素的抽象概念。

虚数i的运算公式

虚数i的四则运算公式

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c²+d²)+(bc-ad)i/(c²+d²)

r1(isina+cosa)r2(isinb+cosb)=r1r2[cos(a+b)+isin(a+b)]

r1(isina+cosa)/r2(isinb+cosb)=r1/r2[cos(a-b)+isin(a-b)]

r(isina+cosa)n=(isinna+cosna)

虚数i的三角函数公式

sin(a+bi)=sin(a)cos(bi)+sin(bi)cos(a)=sin(a)cosh(b)+isinh(b)cos(a)

cos(a-bi)=cos(a)cos(bi)+sin(bi)sin(a)=cos(a)cosh(b)+isinh(b)sin(a)

tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)

cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)

sec(a+bi)=1/cos(a+bi)

csc(a+bi)=1/sin(a+bi)

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