一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大),则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
顶点式:y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P(h,k)];
交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁,0)和B(x₂,0)的抛物线]。
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a;
k=(4ac-b²)/4a;
x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a。
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。
2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b²)/4a)。
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b²-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)。
6.抛物线与x轴交点个数:
Δ=b²-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b²-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-b±√b²-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)。
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax²+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)²+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)。
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x1-x2|。
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。
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