一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大),则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
顶点式:y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P(h,k)];
交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁,0)和B(x₂,0)的抛物线];
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b²)/4ax₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a。
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax²+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax^2+bx+c=0
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax²,y=a(x-h)²,y=a(x-h)²+k,y=ax²+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同。
当h>0时,y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
因此,研究抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便。
2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b²]/4a)。
3.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小。
4.抛物线y=ax²+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b²)/4a。顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。
2.抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b²)/4a)。
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b²-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)。
6.抛物线与x轴交点个数:
Δ=b²-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b²-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-b±√b²-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)。
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