一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大),则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P(h,k)]
交点式:y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁,0)和B(x₂,0)的抛物线]
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a
k=(4ac-b²)/4a
x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a
在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中,有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题,它们都有可能用到二次函数关系,用到二次函数的最值。
那么解决这类问题的一般步骤是:
第一步:设自变量;
第二步:建立函数解析式;
第三步:确定自变量取值范围;
第四步:根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax²+bx+c。
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax²+bx+c=0。
此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax²,y=a(x-h)²,y=a(x-h)²+k,y=ax²+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同。当h>0时,y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到。
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)²+k的图象。
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
因此,研究抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)²+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便。
2.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b²]/4a)。
3.抛物线y=ax²+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小。
4.抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c)。
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|。
当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。
5.抛物线y=ax²+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b²)/4a。
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax²+bx+c(a≠0)。
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)²+k(a≠0)。
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)。
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