(一)圆
在一个平面内,一动点以一定点为中心,以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。圆有无数条对称轴。
(二)圆的相关特点
1.径
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径,字母表示为r
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径,字母表示为d
直径所在的直线是圆的对称轴。在同一个圆中,圆的直径 d=2r
2.弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦.在同一个圆内最长的弦是直径。直径所在的直线是圆的对称轴,因此,圆的对称轴有无数条。
3.弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,以“⌒”表示。
大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧,所以半圆既不是优弧,也不是劣弧。优弧一般用三个字母表示,劣弧一般用两个字母表示。优弧是所对圆心角大于180度的弧,劣弧是所对圆心角小于180度的弧。
在同圆或等圆中,能够互相重合的两条弧叫做等弧。
4.角
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。
(三)圆的垂径定理
1.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
2.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦作对的两条弧。
3.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
(四)圆的切线定理
1.垂直于过切点的半径;经过半径的外端点,并且垂直于这条半径的直线,是这个圆的切线。
2.切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
3.切线的性质:
(1)经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。
(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。
(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。
(五)圆的周角定理
1.圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半;
2.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;
3.“等弧对等角”“等角对等弧”;
4.“直径对直角”“直角对直径”;
5.如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
(六)圆内接四边形性质定理
圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外 角都等于它的内对角.
(七)外接圆和内切圆的定理
1.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形三个顶点距离相等;
2.内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形三边距离相等。
3.R=2S△÷L(R:内切圆半径,S:三角形面积,L:三角形周长)。
4.两相切圆的连心线过切点。(连心线:两个圆心相连的直线)
5.圆O中的弦PQ的中点M,过点M任作两弦AB,CD,弦AC与BD分别交PQ于X,Y,则M为XY之中点。
(八)圆的相关知识点
1.点和圆的位置关系:
(1)点在圆外 d>r
(2)点在圆上 d=r
(3)点在圆内 d<r< p
2.直线和圆的位置关系
(1)直线和圆有两个公共点 相交 d<r
(2)直线和圆有一个公共点 相切 d=r
(3)直线和圆有没有公共点 相交 d>r
3.圆是轴对称和中心对称图形.
4.圆心角的度数等于它所对弧的度数.
5.三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心;
三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心.
6.弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
7.圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
8.圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
9.周长相等,圆面积比正方形、长方形、三角形的面积大。
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