2018常州中考数学模拟真题试卷【精编Word版可下载】

2018常州中考数学模拟真题试卷【精编Word版】

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一、选择题

1．（3分）下列方程中，一元二次方程有（　　）

①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤

A．2个              B．3个              C．4个              D．5个

2．（3分）已知m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式6m2﹣3m的值等于（　　）

A．1              B．2              C．3              D．4

3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）

A．点（0，3）              B．点（2，3）              C．点（5，1）              D．点（6，1）

4．（3分）⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内              B．点P的⊙O上

C．点P在⊙O外              D．点P在⊙O上或⊙O外

5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：

①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（　　）

A．②④⑤⑥              B．①③⑤⑥              C．②③④⑥              D．①③④⑤

6．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）

A．              B．              C．              D．

7．（3分）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径是（　　）

A．1              B．1.5              C．2              D．2.5

8．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙O上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值为（　　）

A．2+              B．2+              C．1              D．2

二、填空题

9．（3分）已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d=　   　cm．

10．（3分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a=　   　．

11．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=　   　．

12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE=　   　．

13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=﹣1，则∠ACD=　   　°．

14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACD=90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F．若S△AEG=S四边形EBCG，则=　   　．

15．（3分）已知直线L与半径为4的圆0相交，则点O到直线L的距离d可取的整数值是　   　．

16．（3分）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价2元，其销售量就减少8个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？设每个商品涨价x元，可列方程　   　．

17．（3分）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是　   　．

18．（3分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是　   　．

三、解答题

19．解方程：

（1）2x2﹣6x+1=0                        

（2）x（2x﹣1）=3（2x﹣1）

20．在边长为1的正方形网格中，有△ABC和半径为2的⊙P．

（1）以点M为位似中心，在网格中将△ABC放大2倍得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；

（2）在（1）所画的图形中，求线段AB的对应线段A′B′被⊙P所截得的弦DE的长．

21．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥C，交AC的延长线于点E．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（1）若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．

22．已知某市2015年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．

（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；

（2）若某企业2015年10月份的水费为620元，求该企业2015年10月份的用水量；

（3）为鼓励企业节约用水，该市自2016年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2015年收费标准收取水费外，超过80吨的部分每吨另加收元的污水处理费，若某企业2016年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业3月份的用水量．

23．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．

24．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四点．根据上述定义，

（1）当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是　   　，

（2）当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为　   　

（3）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．

25．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•

（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；

（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：

①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；

②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．

2018常州中考数学模拟真题试卷参考答案与试题解析

一、选择题

1．（3分）下列方程中，一元二次方程有（　　）

①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③；④x2=1；⑤

A．2个              B．3个              C．4个              D．5个

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；

②方程含有两个未知数，错误；

③不是整式方程，错误；

④符合一元二次方程定义，正确；

⑤符合一元二次方程定义，正确．

故选：B．

【点评】判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．　

2．（3分）已知m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式6m2﹣3m的值等于（　　）

A．1              B．2              C．3              D．4

【分析】把x=m代入方程2x2﹣x﹣1=0求出2m2﹣m=1把6m2﹣3m化成3（2m2﹣m），代入求出即可．

【解答】解：∵m是方程2x2﹣x﹣1=0的一个根，

∴把x=m代入方程2x2﹣x﹣1=0得：2m2﹣m﹣1=0，

∴2m2﹣m=1，

∴6m2﹣3m=3（2m2﹣m）=3×1=3，

故选：C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，采用了整体代入的方法，题目比较好，难度适中．　

3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（　　）

A．点（0，3）              B．点（2，3）              C．点（5，1）              D．点（6，1）

【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可．

【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，

∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），

∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，

∴当△BO′D≌△FBE时，

∴EF=BD=2，

F点的坐标为：（5，1），

∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．

故选：C．

【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．　

4．（3分）⊙O的半径为5，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），则点P与⊙O的位置关系是（　　）

A．点P在⊙O内              B．点P的⊙O上

C．点P在⊙O外              D．点P在⊙O上或⊙O外

【分析】根据点到圆心的距离与圆的半径之间的关系：“点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内”来求解．

【解答】解：∵圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，2），

∴OP==＜5，因而点P在⊙O内．

故选：A．

【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．

5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：

①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（　　）

A．②④⑤⑥              B．①③⑤⑥              C．②③④⑥              D．①③④⑤

【分析】①由直径所对圆周角是直角，

②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，

③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；

④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位线得到结论；

⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．

【解答】解：①、∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BD，

②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，

∴∠AOC≠∠AEC，

③、∵OC∥BD，

∴∠OCB=∠DBC，

∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∴∠OBC=∠DBC，

∴BC平分∠ABD，

④、∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BD，

∵OC∥BD，

∴∠AFO=90°，

∵点O为圆心，

∴AF=DF，

⑤、由④有，AF=DF，

∵点O为AB中点，

∴OF是△ABD的中位线，

∴BD=2OF，

⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，

∴△CEF与△BED不全等，

故选：D．

【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．　

6．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）

A．              B．              C．              D．

【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．

【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．

A．∵ ==，对应边==，≠，

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；

B．∵ =，对应边==，≠，

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；

C．∵ =，对应边=，即： =，∠C=∠C，

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；

D．∵ ==，

=，≠，

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键．　

7．（3分）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，若AC=6，CD=2，则⊙O的半径是（　　）

A．1              B．1.5              C．2              D．2.5

【分析】首先证明四边形CFOE是正方形，设⊙O的半径为r，根据平行证明△OED∽△ACD，列比例式代入即可求解．

【解答】解：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，

∴OE⊥BC，OF⊥AC，

∴∠OFC=∠OEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴四边形CFOE是矩形，

∵OE=OF，

∴矩形CFOE是正方形，

∴OF=EC，

设⊙O的半径为r，则DE=CD﹣CE=2﹣r，OE=r，

∵OE∥AC，

∴△OED∽△ACD，

∴，

∴，

r=1.5，

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的内切圆和圆的切线的性质，此类题的解题思路为：设圆的半径为r，根据相似三角形的性质列比例式或利用勾股定理列方程求解．　

8．（3分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙O上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值为（　　）

A．2+              B．2+              C．1              D．2

【分析】由题意可得当AD和⊙C相切时，△ABE的面积最大，画出此时的图形，然后由已知条件和三角形的相似，可以求得此时的△ABE面积的最大值．

【解答】解：由题意可得，当AD与⊙C相切时，△ABE的面积最大，此时点D在D1的位置，如下图所示，

连接CD1，则∠CD1A=90°，

∴△CD1A∽△OE1A，

∴

∵OA=2，AC=3，CD1=1，

∴，

∴，

∴=2+，

故选：B．

【点评】本题考查切线的性质、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的相似、最值，解题的关键是明确题意画出相应的图形，求出相应的图形的面积．　

二、填空题

9．（3分）已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a=2cm，b=0.6cm，c=4cm，那么d=　1.2　cm．

【分析】根据成比例线段的概念直接求解．

【解答】解：∵a：b=c：d，

∴ad=bc，

∴2d=4×0.6，

∴d=1.2cm．

【点评】考查了成比例线段．线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．　

10．（3分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a=　2　．

【分析】首先根据根与方程的关系，将x=0代入方程求得a的值；又由一元二次方程的二次项系数不能为0，最终确定a的值．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，

∴a2﹣4=0，

∴a=±2，

∵a+2≠0，

即a≠﹣2，

∴a=2．

故答案为：2．

【点评】此题考查了根与方程的关系．解题时要注意一元二次方程的二次项系数不能为0．　

11．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，则x12+x22=　3　．

【分析】先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1•x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和x1•x2的值整体代入计算即可．

【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1=0的两个根，

∴x1+x2=﹣=﹣=﹣1，x1•x2===﹣1，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3．

故答案是：3．

【点评】本题考查了根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x1+x2和x1•x2的值．

12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE=　90°　．

【分析】连接AD，由圆周角定理可得，∠ADE=∠ACE，再根据直径所对的圆周角是直角即可解答．

【解答】解：连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠ADE与∠ACE是同弧所对的圆周角，

∴∠ADE=∠ACE，

∴∠ACE+∠BDE=∠ADB=90°

故答案为：90°．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD=﹣1，则∠ACD=　112.5　°．

【分析】如图，连接OC．根据切线的性质得到OC⊥DC，根据线段的和得到OD=，根据勾股定理得到CD=1，根据等腰直角三角形的性质得到∠DOC=45°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠OCA=∠DOC=22.5°，再根据角的和得到∠ACD的度数．

【解答】解：如图，连接OC．

∵DC是⊙O的切线，

∴OC⊥DC，

∵BD=﹣1，OA=OB=OC=1，

∴OD=，

∴CD===1，

∴OC=CD，

∴∠DOC=45°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠OCA=∠DOC=22.5°，

∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=22.5°+90°=112.5°．

故答案为：112.5．

【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质．本题关键是得到△OCD是等腰直角三角形．　

14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACD=90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F．若S△AEG=S四边形EBCG，则=　　．

【分析】本题的关键主要是证明AF=CF=DF，要想证明它就要根据所给的面积比求出相似比，从而求线段比．

【解答】解：∵EF∥BD

∴∠AEG=∠ABC，∠AGE=∠ACB，

∴△AEG∽△ABC，且S△AEG=S四边形EBCG

∴S△AEG：S△ABC=1：4，

∴AG：AC=1：2，

又EF∥BD

∴∠AGF=∠ACD，∠AFG=∠ADC，

∴△AGF∽△ACD，且相似比为1：2，

∴S△AFG：S△ACD=1：4，

∴S△AFG=S四边形FDCG

S△AFG=S△ADC

∵AF：AD=GF：CD=AG：AC=1：2

∵∠ACD=90°

∴AF=CF=DF

∴CF：AD=1：2．

【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方．　

15．（3分）已知直线L与半径为4的圆0相交，则点O到直线L的距离d可取的整数值是　0，1，2，3　．

【分析】直接根据直线与圆相交的条件即可得出结论．

【解答】解：∵直线L与半径为4的圆0相交，

∴点O到直线L的距离d的取值范围为：0≤d＜4，

∴d可取的整数值是0，1，2，3．

故答案为：0，1，2，3．

【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知直线与圆的三种位置关系是解答此题的关键．

16．（3分）将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价2元，其销售量就减少8个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？设每个商品涨价x元，可列方程　（50﹣40+x）[500﹣x•（8÷2）]=8000　．

【分析】根据题意表示出每件商品的利润以及销量，进而得出答案．

【解答】解：设每个商品涨价x元，则每件商品的利润为：50﹣40+x，

销量为：500﹣x•（8÷2），

故可列方程：（50﹣40+x）[500﹣x•（8÷2）]=8000．

故答案为：（50﹣40+x）[500﹣x•（8÷2）]=8000．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量是解题关键．　

17．（3分）如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是　60°或120°　．

【分析】作OD⊥AB，如图，利用垂线段最短得OD=1，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB=30°，根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，则可根据圆周角定理得到∠AEB=∠AOB=60°，根据圆内接四边形的性质得∠F=120°，求出弦AB所对的圆周角的度数．

【解答】解：作OD⊥AB，

∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，

∴OD=1，

∴∠OAB=30°，

∴∠AOB=120°，

∴∠AEB=∠AOB=60°，

∵∠E+∠F=180°，

∴∠F=120°，

即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°，

故答案为：60°或120°．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．　

18．（3分）已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是　　．

【分析】延长D4A和C1B交于O，根据正方形的性质和三角形相似的性质即可求得各个正方形的边长，从而得出规律，即可求得正方形A9C9C10D10的边长．

【解答】解：延长D4A和C1B交于O，

∵AB∥A2C2，

∴△AOB∽△D2OC2，

∴=，

∵AB=BC1=1，DC2=C1C2=2，

∴==

∴OC2=2OB，

∴OB=BC2=3，

∴OC2=6，

设正方形A2C2C3D3的边长为x1，

同理证得：△D2OC2∽△D3OC3，

∴=，解得，x1=3，

∴正方形A2C2C3D3的边长为3，

设正方形A3C3C4D4的边长为x2，

同理证得：△D3OC3∽△D4OC4，

∴=，解得x2=，

∴正方形A3C3C4D4的边长为；

设正方形A4C4C5D5的边长为x3，

同理证得：△D4OC4∽△D5OC5，

∴=，解得x=，

∴正方形A4C4C5D5的边长为；

以此类推…．

正方形An﹣1Cn﹣1CnDn的边长为；

∴正方形A9C9C10D10的边长为．

故答案为．

【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，求得前五个正方形的边长得出规律是解题的关键．

三、解答题

19．解方程：

（1）2x2﹣6x+1=0                        

（2）x（2x﹣1）=3（2x﹣1）

【分析】（1）公式法求解可得；

（2）移项后提取公因式分解因式，继而可得．

【解答】解：（1）∵a=2，b=﹣6，c=1，

∴△=36﹣4×2×1=28＞0，

∴x==，

即x1=，x2=；

（2）∵x（2x﹣1）﹣3（2x﹣1）=0，

（2x﹣1）（x﹣3）=0，

∴2x﹣1=0或x﹣3=0，

解得：x=或x=3．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．　

20．在边长为1的正方形网格中，有△ABC和半径为2的⊙P．

（1）以点M为位似中心，在网格中将△ABC放大2倍得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′；

（2）在（1）所画的图形中，求线段AB的对应线段A′B′被⊙P所截得的弦DE的长．

【分析】（1）连接MA并延长知A′，使得MA=AA′，用同样方法确定点B′和点C′，即可确定△A´B´C´．

（2）连接PD，作PF⊥DE于点F，利用勾股定理求得DF的长，然后即可求得DE的长．

【解答】解：（1）如图△A´B´C´为所求的图形，

（2）连接PD，作PF⊥DE于点F，则DE=2DF，

在Rt△PDF中，PD=2，PF=1，

∴DF==

∴DE=2

【点评】本题考查了位似变换，解题的关键是根据位似中心和位似比，从而作出位似图形．　

21．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥C，交AC的延长线于点E．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（1）若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．

【分析】（1）连接OD，由角平分线和等腰三角形的性质得出∠ODA=EAD，证出EA∥OD，再由已知条件得出DE⊥OD，即可得出结论．

（2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF=AE=8，DF=DE，求出OF=3，由勾股定理得出DF，即可得出结果．

【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠OAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=EAD，

∴EA∥OD，

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD，

∵点D在⊙O上，

∴直线DE与⊙O相切．

（2）解：作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示：

∴∠DFA=∠DEA=90°，

在△EAD和△FAD中，

，

∴△EAD≌△FAD（AAS），

∴AF=AE=8，DF=DE，

∵OA=OD=5，

∴OF=3，

在Rt△DOF中，DF===4，

∴DE=DF=4．

【点评】本题考查圆与直线相切的判定、平行线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．　

22．已知某市2015年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．

（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；

（2）若某企业2015年10月份的水费为620元，求该企业2015年10月份的用水量；

（3）为鼓励企业节约用水，该市自2016年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2015年收费标准收取水费外，超过80吨的部分每吨另加收元的污水处理费，若某企业2016年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业3月份的用水量．

【分析】（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，把（50，200），（60，260）代入转化为方程组解决．

（2）列方程即可解决问题．

（3）由题意得6x﹣100+（x﹣80）=600，解方程即可．

【解答】解：（1）由图象知：

当x≥50时，y关于x的函数是一次函数．

设y关于x的函数关系式y=kx+b，

则，解得，所以，y关于x的函数关系式是y=6x﹣100．

（2）由图可知，当y=620时，x＞50，所以，6x﹣100=620，解得x=120，

所以该企业2013年10月份的用水量为120吨；

（3）由题意得6x﹣100+（x﹣80）=600，化简得：x2+40x﹣14000=0，

解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去），所以这个企业2015年3月份的用水量是100吨．

【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法、一元一次方程等知识，解题的关键是学会构建一次函数，把问题转化为方程，属于基础题中考常考题型．　

23．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．

【分析】根据已知得出旗杆高度，进而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半径即可．

【解答】解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，

∴8米高旗杆DE的影子为：12m，

∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，

∴GH=12﹣3﹣1=8（m），

∴GM=MH=4m．

如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．

设小桥所在圆的半径为r，

∵MN=2m，

∴OM=（r﹣2）m．

在Rt△OGM中，由勾股定理得：

∴OG2=OM2+42，

∴r2=（r﹣2）2+16，

解得：r=5，

答：小桥所在圆的半径为5m．

【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据已知得出关于r的等式是解题关键．　

24．定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角系中四点．根据上述定义，

（1）当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是　2　，

（2）当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB的长）为　　

（3）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．

【分析】（1）理解新定义，按照新定义的要求求出距离；

（2）按照新定义的要求，得出AB=求出即可．

（3）如图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长．

【解答】解：（1）当m=2，n=2时，

如图1，线段BC与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2；

故答案为：2；

（2）当m=5，n=2时，

B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，

如图2，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，

在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．

故答案为：；

（3）如图3所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为：2≤m≤6：

当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；

当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，

ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：

故d===（2≤m＜4）．

故d=．

【点评】本题考查了圆的相关性质、点的坐标、勾股定理等重要知识点，根据新定义得出线段之间距离是解决本题的关键．

25．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作射线AC与斜边EF平行，已知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•

（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；

（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：

①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；

②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．

【分析】（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；

（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12﹣t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；

②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．

【解答】解：（1）四边形EFPQ是菱形．

理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，

∵t=5，∴AP=2×5=10．

∵点Q是AP的中点，

∴AQ=PQ=5．

∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，

∴EF==5，

∴PQ=EF=5．

∵AC∥EF，

∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．

又∵∠QHA=∠FDE=90°，

∴△AHQ∽△EDF，

∴==．

∵AQ=EF=5，

∴AH=ED=4．

∵AE=12﹣4=8，

∴HE=8﹣4=4，

∴AH=EH，

∴AQ=EQ，

∴PQ=EQ，

∴平行四边形EFPQ是菱形；

（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，

此时AQ=t，EM=EF=，AD=12﹣t，DE=4．

∵EF∥AC，

∴△DEM∽△DAQ，

∴=，

∴=，

解得t=；

②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，

此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．

Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图③，

则有∠HQD=∠HDQ=45°，

∴QH=DH．

∵△AHQ∽△EDF（已证），

∴==，

∴==，

∴QH=，AH=，

∴DH=QH=．

∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，

∴++t=12，

∴t=5；

Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图④，

同理可得DH=QH=，AH=．

∵AB=AD+DB=AH﹣DH+DB=12，DB=t，

∴﹣+t=12，

∴t=10．

综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．

【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆的切线的性质、等角对等边、勾股定理、垂直平分线的性质、解方程等知识，需要注意的是：到两条直线的距离相等的点在两条直线所成两组对顶角的角平分线上，避免出现漏解的现象．