2018承德市中考数学压轴试题【解析版含答案】

由于格式问题此试题可能会出现乱码的情况

为了方便您阅读请点击右上角的全屏查看

2018承德市中考数学压轴试题

一、选择题（本题42分，1-10题每题3分，11--16每小题3分下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请把正确的选项填在下一页的表格内否则不得分）

1．0不是0的（　　）

A．倒数              B．相反数              C．绝对值              D．平方根

2．下列各数中，比﹣2小的数是（　　）

A．0              B．﹣1              C．﹣3              D．1

3．如图，AB∥CD，点E在CD上，BC平分∠ABE，若∠C=25°，则∠BED的度数是（　　）

A．25°              B．45°              C．50°              D．75°

4．用配方法将二次三项式a2﹣4a+5变形，结果是（　　）

A．（a﹣2）2+1              B．（a+2）2﹣1              C．（a+2）2+1              D．（a﹣2）2﹣1

5．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（　　）

A．m=n，k＞h              B．m=n，k＜h              C．m＞n，k=h              D．m＜n，k=h

6．（承德中考数学）二次根式中x的取值范围是（　　）

A．x≥              B．x≤              C．x＜              D．x＞

7．下列计算正确的是（　　）

A．2a2+4a2=6a4              B．（a+1）2=a2+1              C．（a2）3=a5              D．x7÷x5=x2

8．函数的图象在（　　）

A．第一象限              B．第一、三象限              C．第二象限              D．第二、四象限

9．已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（　　）

A．18°              B．36°              C．72°              D．144°

10．若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（　　）

A．m≤﹣1              B．m≤1              C．m≤4              D．

11．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　）

A．              B．              C．              D．

12．小明所在的九年级一班共有38名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.67米，而小明的身高是1.66米，则下列说法错误的是（　　）

A．1.67米是该班学生身高的平均水平

B．班上比小明矮的学生人数不会超过19人

C．这组身高数据的中位数不一定是1.67米

D．这组身高数据的众数不一定是1.67米

13．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，AB=3，OC=4，则BD的长为（　　）

A．4              B．5              C．10              D．12

14．（承德中考数学）如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（　　）

A．35°              B．55°              C．65°              D．70°

15．如图，已知A点坐标为（，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=60°，则b的值为（　　）

A．3﹣3              B． +3              C．2+3              D．2﹣3

16．如图，正方形ABCD的边长为a，AC与BD交于点O，E为OD中点，动点P从点O出发，沿折O→E→A→B→O的路径运动，回到点O时运动停止．设点P运动的路程长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是    （　　）

A．              B．              C．              D．

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

17．2013年第一季度国内批发零售业生产总值绝对额为18 914亿元，将用18 914亿元用科学记数法表示为　　．

18．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2=　　．

19．经过三点（﹣1，0），（3，0）和（2，﹣3）的抛物线的解析式是　　；顶点坐标是　　．

20．（承德中考数学）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=3，那么BC=　　．

21．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．那么剪下的扇形ABC（阴影部分）的面积为　　；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r=　　．

22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则cos∠EAF=　　．

三、解答题（本题共60分，第23题8分第24题6分，第25题4分、第26题、第27题各6分，第28题8分第29题30题各11分）

23．计算：

（1）32﹣（﹣）﹣3﹣|1﹣|+﹣sin60°+（﹣2）0﹣

（2）[﹣]÷．

24．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E为BC 中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．求证：DC=CF．

25．（承德中考数学）有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别画有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．

（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；

（2）如果各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形边数和最小的概率．

26．甲、乙两人在某公司做见习推销员，推销“小天鹅”洗衣机，他们在1～8月份的销售情况如下表所示：

（1）在下面给出的坐标系中，绘制甲、乙两人这8个月的月销售量的折线图（甲用实线；乙用虚线）；

（2）求甲、乙销售量两组数据的众数、中位数和平均数；

（3）结合（1）、（2），写出2条关于甲、乙两人在这8个月中销售状况的信息．

27．（承德中考数学）某书法班第一期开班，负责人到书店给学员购买一种字帖，该书店规定一次购买100本以上，可享受8折优惠．若给学员每人购买一本，不能享受8折优惠，需付款3080元；若多买22本，就可享受8折优惠，同样只需付款3080元．请问该书法班第一期开班有多少名学员？

28．如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）设∠AOQ=α，若cosα=，OQ=15，求AB的长．

29．某实验大棚的一种花草每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些花草在第5天、第15天的需水量分别为1000千克、1500千克，在第20天后每天的需水量比前一天增加90千克．

（1）分别求出x≤20和x＞20时，y与x之间的关系式；

（2）如果这些花草每天的需水量大于或等于2200千克时需要进行人工浇灌，那么应从第几天开始进行人工浇灌？

30．如图，抛物线y=ax2+ax﹣6a与x轴交于A、B两点（B在A右侧），与y轴交于点C．

（1）求A、B两点坐标；

（2）若AD平分∠CAB，交CB于D，且AD⊥CB，求抛物线及直线AD的解析式；

（3）若点G、C关于x轴对称，直线GB交（2）中直线AD于点K，M、N分别为直线AC和直线AK上的两个动点，连接CN、NM、MK，求CN+NM+MK的最小值．

　承德中考数学参考答案与试题解析

一、选择题（本题42分，1-10题每题3分，11--16每小题3分下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请把正确的选项填在下一页的表格内否则不得分）

1．0不是0的（　　）

A．倒数              B．相反数              C．绝对值              D．平方根

【考点】实数．

【分析】根据倒数、相反数、绝对值和平方根进行判断即可．

【解答】解：A、0不是0的倒数，符合题意；

B、0是0的相反数，不符合题意；

C、0是0的绝对值，不符合题意；

D、0是0的平方根，不符合题意；

故选A

2．（承德中考数学）下列各数中，比﹣2小的数是（　　）

A．0              B．﹣1              C．﹣3              D．1

【考点】有理数大小比较．

【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除A、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．

【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．

故选C．

3．如图，AB∥CD，点E在CD上，BC平分∠ABE，若∠C=25°，则∠BED的度数是（　　）

A．25°              B．45°              C．50°              D．75°

【考点】平行线的性质；角平分线的定义．

【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ABC的度数，又由BC平分∠ABE，即可求得∠ABE的度数，继而求得答案．

【解答】解：∵AB∥CD，∠C=25°，

∴∠ABC=∠C=25°，

∵BC平分∠ABE，

∴∠ABE=2∠ABC=50°，

∵AB∥CD，

∴∠BED=∠ABE=50°．

故选：C．

4．用配方法将二次三项式a2﹣4a+5变形，结果是（　　）

A．（a﹣2）2+1              B．（a+2）2﹣1              C．（a+2）2+1              D．（a﹣2）2﹣1

【考点】配方法的应用．

【分析】此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．

【解答】解：∵a2﹣4a+5=a2﹣4a+4﹣4+5，

∴a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1．

故选A．

5．（承德中考数学）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（　　）

A．m=n，k＞h              B．m=n，k＜h              C．m＞n，k=h              D．m＜n，k=h

【考点】二次函数的性质．

【分析】由图看出两抛物线的对称轴相同，故m=n，抛物线的顶点纵坐标k在h上方，故k＞h，故选项A正确，其他错误．

【解答】解：A，由图看出两抛物线的对称轴相同，故m=n，抛物线的顶点纵坐标k在h上方，故k＞h，故该选项正确；

B，由A选项分析相同，故本选项错误；

C，由A选项分析相同，故本选项错误；

D，由A选项分析相同，故本选项错误．

故选A．

6．二次根式中x的取值范围是（　　）

A．x≥              B．x≤              C．x＜              D．x＞

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．

【解答】解：由题意得，x﹣≥0，

解得x≥．

故选A．

7．下列计算正确的是（　　）

A．2a2+4a2=6a4              B．（a+1）2=a2+1              C．（a2）3=a5              D．x7÷x5=x2

【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．

【分析】根据合并同类项对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方法则对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．

【解答】解：A、2a2+4a2=6a2，所以A选项不正确；

B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B选项不正确；

C、（a2）5=a10，所以C选项不正确；

D、x7÷x5=x2，所以D选项正确．

故选D．

8．（承德中考数学）函数的图象在（　　）

A．第一象限              B．第一、三象限              C．第二象限              D．第二、四象限

【考点】反比例函数的性质．

【分析】由于函数解析式中有，则x必为非负数，又由于函数解析式中有，故x≠0，所以x＞0，此时y＞0，故函数在第一象限．

【解答】解：∵中x≥0，

中x≠0，

故x＞0，

此时y＞0，

则函数在第一象限．

故选A．

9．已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（　　）

A．18°              B．36°              C．72°              D．144°

【考点】平行四边形的性质；平行线的性质．

【分析】关键平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．

【解答】解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠C=∠A，BC∥AD，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠B=4∠A，

∴∠A=36°，

∴∠C=∠A=36°，

故选B．

10．若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（　　）

A．m≤﹣1              B．m≤1              C．m≤4              D．

【考点】根的判别式．

【分析】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．

【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，

∴b2﹣4ac=22﹣4m≥0，

解得：m≤1，

则m的取值范围是m≤1．

故选：B．

11．（承德中考数学）如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】从正面看可看到每列正方体的最多个数分别为2，2，1，表示为平面图形即可，

【解答】解：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，

得主视图有3列，从左到右的列数分别是2，2，1．

故选C．

12．小明所在的九年级一班共有38名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.67米，而小明的身高是1.66米，则下列说法错误的是（　　）

A．1.67米是该班学生身高的平均水平

B．班上比小明矮的学生人数不会超过19人

C．这组身高数据的中位数不一定是1.67米

D．这组身高数据的众数不一定是1.67米

【考点】众数；中位数．

【分析】A：根据算术平均数的含义，可得1.67米是该班学生身高的平均水平，据此判断即可．

B：根据小明所在的九年级一班共有38名学生，可得班上比小明高的学生可能超过19人，据此判断即可．

C：根据中位数的含义，可得这组身高的中位数不一定是1.67米，据此判断即可．

D：根据众数的含义，可得这组身高的众数不一定是1.67米，据此判断即可

【解答】解：∵该班学生的平均身高为1.67米，

∴1.67米是该班学生身高的平均水平，

∴选项A正确，不符合题意；

∵小明所在的九年级一班共有38名学生，

∴班上比小明高的学生可能超过19人，

∴选项B不正确，符合题意；

∵这组身高的中位数不一定是1.67米，

∴选项C正确，不符合题意；

∵这组身高的众数不一定是1.67米，

∴选项D正确，不符合题意．

故选：B．

13．（承德中考数学）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB⊥AC，AB=3，OC=4，则BD的长为（　　）

A．4              B．5              C．10              D．12

【考点】平行四边形的性质．

【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．

【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，

∴BO=DO，AO=OC=4，

∵AB⊥AC，AB=3，

∴∠BAO=90°，

在Rt△ABO中，由勾股定理得：BO==5，

∴BD=2BO=10，

故选：C．

14．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAC的度数是（　　）

A．35°              B．55°              C．65°              D．70°

【考点】圆周角定理．

【分析】在同圆和等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，所以∠AOC=2∠D=70°，而△AOC中，AO=CO，所以∠OAC=∠OCA，而180°﹣∠AOC=110°，所以∠OAC=55°．

【解答】解：∵∠D=35°，

∴∠AOC=2∠D=70°，

∴∠OAC=÷2=110°÷2=55°．

故选：B．

15．如图，已知A点坐标为（，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=60°，则b的值为（　　）

A．3﹣3              B． +3              C．2+3              D．2﹣3

【考点】（承德中考数学）一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】令直线y=x+b与x轴交于点C，根据直线的解析式可求出点B、C的坐标，进而得出∠BCO=45°，再通过角的计算得出∠BAO=15°，以BA为边在∠ABO内部作∠ABD=∠BAO=15°，可设AD=BD=x，得OD=OA﹣AD=﹣x，在Rt△BOD中根据cos∠BDO=求得x，即可得BD的长，再根据BO=BDsin∠BDO可得答案．

【解答】解：令直线y=x+b与x轴交于点C，

令y=x+b中x=0，则y=b，

∴B（0，b）；

令y=x+b中y=0，则x=﹣b，

∴C（﹣b，0）．

∴∠BCO=45°．

∵α=∠BCO+∠BAO=60°，

∴∠BAO=15°，

如图，以BA为边在∠ABO内部作∠ABD=∠BAO=15°，

设AD=BD=x，

∴OD=OA﹣AD=﹣x，

在Rt△BOD中，∵∠BDO=∠ABD+∠BAO=30°，

∴cos∠BDO=，即=，

解得：x=4﹣6，即BD=4﹣6，

∴BO=BDsin∠BDO=（4﹣6）×=2﹣3，

故选：D．

16．如图，正方形ABCD的边长为a，AC与BD交于点O，E为OD中点，动点P从点O出发，沿折O→E→A→B→O的路径运动，回到点O时运动停止．设点P运动的路程长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是    （　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】（承德中考数学）动点问题的函数图象．

【分析】根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对点P在不同线段上时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．

【解答】解：∵正方形ABCD的边长为a，

∴BD=a，AC⊥BD，

∴OD=，

∵E为OD中点，

∴OE=a，

当点P在OE上时，

∵OP=x，OA=a，

∴y=，

当点P在AE上时，

在Rt△AOE中，AE==a，

∴y=﹣x=﹣x+a；

当点P在AB上时，

∴y=x﹣a，

当点P在OB上时，

∵OP=a+a+a+a﹣x=a﹣x，

∴y==，

合函数解析式可以得出第1，4段函数的图象是开口向上的抛物线，第2，3段函数的图象是直线，故只有A符合要求，

故选：A．

二、（承德中考数学）填空题（本题共18分，每小题3分）

17．2013年第一季度国内批发零售业生产总值绝对额为18 914亿元，将用18 914亿元用科学记数法表示为　1.8914×109　．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：18 914亿元用科学记数法表示为1.8914×109，

故答案为：1.8914×109．

18．分解因式：3x2﹣6x2y+3xy2=　3x（x﹣2xy+y2）　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】原式提取公因式分解即可．

【解答】解：原式=3x（x﹣2xy+y2），

故答案为：3x（x﹣2xy+y2）

19．经过三点（﹣1，0），（3，0）和（2，﹣3）的抛物线的解析式是　y=x2﹣2x﹣3　；顶点坐标是　（1，﹣4）　．

【考点】待定系数法求二次函数解析式．

【分析】先设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，再把（﹣1，0），（3，0）和（2，﹣3）代入，可得关于a、b、c的三元一次方程组，解可求a、b、c，进而可得二次函数解析式，再利用顶点公式易求顶点坐标．

【解答】解：设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，

把（﹣1，0），（3，0）和（2，﹣3）代入函数解析式，得

，

解得

，

∴所求二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3，

∴﹣=1， =﹣4．

∴顶点的坐标是（1，﹣4）．

20．如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=3，那么BC=　6　．

【考点】（承德中考数学）三角形中位线定理；垂径定理．

【分析】由AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可知M、N为AB、AC的中点，线段MN为△ABC的中位线，根据中位线定理可知BC=2MN．

【解答】解：∵AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，

∴M、N为AB、AC的中点，即线段MN为△ABC的中位线，

∴BC=2MN=6．

故答案为：6．

21．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．那么剪下的扇形ABC（阴影部分）的面积为　2π　；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r=　　．

【考点】圆锥的计算．

【分析】（1）连OA，作OD⊥AC于D，根据垂径定理得到AD=DC，利用含30°的直角三角形三边的关系得到AC=2，再利用扇形的面积公式可计算出S阴影部分的面积；

（2）先根据弧长公式计算出弧BC的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长计算该圆锥的底面圆的半径．

【解答】解：连OA，作OD⊥AC于D，如图，

则AD=DC，

∵∠BAC=60°，

∴∠OAD=30°，

∴OD=OA=×2=1，

∴AD=，

∴AC=2，

∴S阴影部分==2π；

（2）∵弧BC的长==π，

∴圆锥的底面圆的半径==．

故答案为：2π；．

22．（承德中考数学）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则cos∠EAF=　　．

【考点】轴对称﹣最短路线问题；矩形的性质；解直角三角形．

【分析】作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，作EH⊥AF于H．，再根据△CEF∽△BEA即可求出CF的长，进而得出DF的长，想办法求出AE、AH，即可求出cos∠EAF的值．

【解答】解：作点E关于直线CD的对称点E′，连接AE′交CD于点F，作EH⊥AF于H．

∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，

∴BE=CE=CE′=4，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴，即，解得CF=2，

∴DF=CD﹣CF=6﹣2=4．

∴AE==2，AF==4，

∵S△AEF=•AF•EH=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△EFC，

∴•EH=16，

∴EH=，

在Rt△AEH中，AH===，

∴cos∠EAF===．

故答案为．

三、（承德中考数学）解答题（本题共60分，第23题8分第24题6分，第25题4分、第26题、第27题各6分，第28题8分第29题30题各11分）

23．计算：

（1）32﹣（﹣）﹣3﹣|1﹣|+﹣sin60°+（﹣2）0﹣

（2）[﹣]÷．

【考点】分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】（1）首先计算乘方，开方，去掉绝对值符号，计算0次幂，然后合并同类二次根式即可；

（2）首先对分式进行化简，然后计算分式的加减，把除法转化为乘法，然后计算乘法即可．

【解答】解：（1）原式=9﹣（﹣8）﹣（﹣1）+3﹣+1﹣=9+8﹣+1+3+1﹣=18+；

（2）原式=[﹣]•

=[﹣]•

=•

=1．

24．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E为BC 中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．求证：DC=CF．

【考点】（承德中考数学）平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】利用平行四边形的两组对边分别平行即可得到两角相等，再证明两三角形全等，即可得出结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，AB=CD，

∴∠DFA=∠FAB；

∵E为BC中点，

∴EC=EB，

∴在△ABE与△FCE中，，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴AB=CF，

∴DC=CF．

25．有四张形状、大小和质地相同的卡片A、B、C、D，正面分别画有一个正多边形（所有正多边形的边长相等），把四张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张．

（1）请你用画树形图或列表的方法列举出可能出现的所有结果；

（2）如果各种结果被选中的可能性相同，求两次抽取的正多边形边数和最小的概率．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）通过画树状图展示所有12种等可能的结果数；

（2）找出两次抽取的正多边形边数和最小的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果数；

（2）两次抽取的正多边形边数和最小的结果数为2，

所以两次抽取的正多边形边数和最小的概率==．

26．（承德中考数学）甲、乙两人在某公司做见习推销员，推销“小天鹅”洗衣机，他们在1～8月份的销售情况如下表所示：

（1）在下面给出的坐标系中，绘制甲、乙两人这8个月的月销售量的折线图（甲用实线；乙用虚线）；

（2）求甲、乙销售量两组数据的众数、中位数和平均数；

（3）结合（1）、（2），写出2条关于甲、乙两人在这8个月中销售状况的信息．

【考点】折线统计图；加权平均数；中位数；众数．

【分析】（1）先描出甲的8个月销售量的各点，再将各点用线段连接起来就是甲的折线统计图，同理，可制的乙的折线统计图；

（2）根据平均数、众数和中位数的概念直接求解，

（3）结合折线图以及所求数据即可得出相关信息，合理即可．

【解答】解：（1）如图：甲用实线；乙用虚线；

；

（2）甲的平均数=（7+8+6+7+6+6+7+7）÷8=6.75；

甲的众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数为7；

将这组数据从大到小的顺序排列后甲的中位数=（7+7）÷2=7．

乙的平均数=（5+6+6+5+8+9+7+7）÷8=6.625；

乙的众数是一组数据中出现次数最多的数据，所以众数为5，6，7；

将这组数据从大到小的顺序排列后乙的中位数=（6+7）÷2=6.5．

（3）据（1）中的折线图，写出2条关于甲乙两人在这8个月中的销售状况的信息：

①甲销量较稳定；

②甲最多销售8台/月，乙最多9台/月．

27．（承德中考数学）某书法班第一期开班，负责人到书店给学员购买一种字帖，该书店规定一次购买100本以上，可享受8折优惠．若给学员每人购买一本，不能享受8折优惠，需付款3080元；若多买22本，就可享受8折优惠，同样只需付款3080元．请问该书法班第一期开班有多少名学员？

【考点】分式方程的应用．

【分析】设该书法班第一期开班有x名学员，根据“学员的总人数不变”列分式方程求解可得．

【解答】解：设该书法班第一期开班有x名学员，

根据题意可得：×0.8=，

解得：x=88．

经检验：x=88是原方程的解且符合题意

答：该书法班第一期开班有88名学员．

28．如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）设∠AOQ=α，若cosα=，OQ=15，求AB的长．

【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

【分析】（1）连接OP，与AB交于点C．欲证明PB是⊙O的切线，只需证明∠OBP=90°，证明△OAP≌△OBP即可；

（2）连OP并交AB于点C，先由三角函数求出OA、AQ、BQ，再证明△QAO∽△QBP，得出比例式、求出PQ、PA，由勾股定理知OP，然后由三角形相似求出AC，即可得出AB的长．

【解答】（承德中考数学）（1）证明：连接OP，与AB交于点C；如图所示：在△OAPh5△OBP中，，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠OBP=∠OAP，

∵PA是⊙O的切线，A是切点，

∴∠OAP=90°，

∴∠OBP=90°，

∴PB是⊙O的切线；

（2）解：连OP并交AB于点C，

在Rt△OAQ中，∵OQ=15，cosα=，

∴OA=12，AQ=9，

∴BQ=27；

∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，

∴△QAO∽△QBP，

∴，即，

∴PQ=45，

∴PA=36，

∴OP==12；

∵∠APO=∠APO，∠PAO=∠PCA=90°

∴△PAC∽△POA，

∴，

∴PA•OA=OP•AC，即36×12=12•AC，

∴AC=，

∴AB=．

29．某实验大棚的一种花草每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些花草在第5天、第15天的需水量分别为1000千克、1500千克，在第20天后每天的需水量比前一天增加90千克．

（1）分别求出x≤20和x＞20时，y与x之间的关系式；

（2）如果这些花草每天的需水量大于或等于2200千克时需要进行人工浇灌，那么应从第几天开始进行人工浇灌？

【考点】一次函数的应用．

【分析】（承德中考数学）（1）设y=kx+b．把已知坐标代入求出k，b的值．求出y与x的函数关系式；再根据x的取值求出各段的函数解析式；

（2）令y≥2200时，转化为不等式问题求解．

【解答】解：（1）当x≤20时，设y=kx+b．

根据题意，得：

，

解这个方程组，得：

，

∴当x＜20时，y与x之间的关系式是y=50x+750；

∴当x=20时，y=50×20+750=1750；

当x≥20时，根据题意，得y=90（x﹣20）+1750，

即y=90x﹣50．

∴当x≥20时，y与x之间的关系式是y=90x﹣50．

（2）当y≥2200时，y与x之间的关系式是y=90x﹣50．

解不等式90x﹣50≥2200．

得x≥25．

∴应从第25天开始进行人工灌溉．

30．如图，抛物线y=ax2+ax﹣6a与x轴交于A、B两点（B在A右侧），与y轴交于点C．

（1）求A、B两点坐标；

（2）若AD平分∠CAB，交CB于D，且AD⊥CB，求抛物线及直线AD的解析式；

（3）若点G、C关于x轴对称，直线GB交（2）中直线AD于点K，M、N分别为直线AC和直线AK上的两个动点，连接CN、NM、MK，求CN+NM+MK的最小值．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（承德中考数学）（1）利用x轴上点的坐标特征直接确定出点A，B坐标；

（2）先判断出AC=AB=4，进而求出点C的坐标，用待定系数法求出抛物线和直线AD的解析式；

（3）先确定出CN+NM+MK的最小值时，点M，N的位置，再确定出直线交点坐标K，最后利用中点坐标公式确定出点Q坐标，即可求出BQ．

【解答】解：（1）∵y=ax2+ax﹣6a=a（x2+x﹣6）=a（x+3）（x﹣2）=0，

∴x=﹣3或x=2，

∵B在A右侧，

∴A（﹣3，0），B（2，0）；

（2）如图1，由（1）知，A（﹣3，0），B（2，0），

∴AB=5，

∵AD平分∠CAB，交CB于D，且AD⊥CB，

∴AC=AB=5，

根据勾股定理得，OC==4，

∴C（0，4），

∵点C在抛物线y=ax2+ax﹣6a上，

∴﹣6a=4，

∴a=﹣，

∴抛物线y=﹣x2﹣x+4，

∵AC=AB，AD⊥CB，

∴BD=CD，

∴点D是BC中点，

∵B（2，0），C（0，4），

∴D（1，2），

∵A（﹣3，0），

∴直线AD的解析式为y=x+；

（3）（承德中考数学）如图2，作出点K关于直线AC的对称点Q，连接QB交AC于M，AK于N，

∴MQ=MK，

∵AD垂直平分BC，

∴CN=BN，

∴CN+NM+MK=BN+MN+QM，

∴点Q，M，N，B在同一条直线上时，CN+NM+MK最小，最小值为BQ，∵点G、C（0，4）关于x轴对称，

∴G（0，﹣4），

∵B（0，2），

∴直线BG的解析式为y=2x﹣4①，

由（2）知，直线AD的解析式为y=x+②，

联立①②得，

，解得，，

∴K（，），

∵A（﹣3，0），C（0，4），

∴直线AC的解析式为y=x+4③，

∵QK⊥AC，∴直线QK的解析式为y=﹣x+④，

联立③④解得，P（1，），

∵点P是QK的中点，

∴Q（﹣，2），

∵B（2，0），

∴BQ==．

即：CN+NM+MK的最小值为．

第1页（共32页）