2018年广东省清远市九年级期中数学试题【解析版含答案】

2018年广东省清远市九年级期中数学试题【解析版含答案】

由于版式的问题，试题可能会出现乱码的现象，为了方便您的阅读请点击全屏查看一、选择题（每小题3分，共24分）

1．下列命题中正确的是（）

A．有一组邻边相等的四边形是菱形

B．有一个角是直角的平行四边形是矩形

C．对角线垂直的平行四边形是正方形

D．一组对边平行的四边形是平行四边形

2．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（）

A．2：1              B．1：4              C．1：              D．1：2

3．将方程x2﹣2x﹣3=0化为（x﹣m）2=n的形式，指出m，n分别是（）

A．1和3              B．﹣1和3              C．1和4              D．﹣1和4

4．如图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序进行排列正确的是（）

A．（1）（2）（3）（4）              B．（4）（3）（1）（2）              C．（4）（3）（2）（1）              D．（2）（3）（4）（1）

5．顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是（）

A．矩形              B．平行四边形              C．菱形              D．任意四边形

6．如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（）

A．6.4米              B．7米              C．8米              D．9米

7．如图所示的立体图形，其主视图是（）

A．              B．              C．              D．

8．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（）

A．4              B．3              C．2              D．

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．如图，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是．

10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是．

11．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE=．

12．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的周长是厘米．

13．已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM＞MB，若AB=40，则AM=．

14．已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个不相等的实数根，则α+β+αβ的值为．

15．若关于x的方程（m﹣3）x|m|﹣1+2x﹣7=0是一元二次方程，则m=．

16．已知，则=．

三、解答题（共24分）

17．解方程：x2﹣2x﹣8=0．

18．5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）=0（用因式分解法）．

19．画出如图几何体的三视图．

20．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆A、B，恰好被南岸的两棵树C、D遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．

四、解答题（共48分）

21．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．

22．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

23．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

24．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣2m2+m=0（m为实数）有两个实数根x1、x2．

（1）当m为何值时，x1≠x2；

（2）若x12+x22=2，求m的值．

25．如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．

（1）求证：△ABD∽△CAE；

（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．

26．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：

如：解方程x（x+4）=6．

解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．（x+2）2﹣22=6，（x+2）2=6+22，（x+2）2=10．

直接开平方并整理，得．

我们称晓东这种解法为“平均数法”．

（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程．

解：原方程可变形，得

[（x+□）﹣◯][（x+□）+◯]=5．

（x+□）2﹣◯2=5，

（x+□）2=5+◯2．

直接开平方并整理，得x1=☆，x2=¤．

上述过程中的“□”，“◯”，“☆”，“¤”表示的数分别为，，，．

（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）=5．

2018年广东省清远市九年级期中数学试题参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．下列命题中正确的是（）

A．有一组邻边相等的四边形是菱形

B．有一个角是直角的平行四边形是矩形

C．对角线垂直的平行四边形是正方形

D．一组对边平行的四边形是平行四边形

【考点】命题与定理．

【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．

【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；

B、正确；

C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；

D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 

故选：B．

2．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（）

A．2：1              B．1：4              C．1：              D．1：2

【考点】相似三角形的性质．

【分析】直接根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出结论．

【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，

∴这两个相似三角形的周长比是1：2．

故选D．

3．将方程x2﹣2x﹣3=0化为（x﹣m）2=n的形式，指出m，n分别是（）

A．1和3              B．﹣1和3              C．1和4              D．﹣1和4

【考点】解一元二次方程-配方法．

【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．

【解答】解：移项得x2﹣2x=3，

配方得x2﹣2x+1=4，

即（x﹣1）2=4，

∴m=1，n=4．

故选C．

4．如图是小明一天上学、放学时看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序进行排列正确的是（）

A．（1）（2）（3）（4）              B．（4）（3）（1）（2）              C．（4）（3）（2）（1）              D．（2）（3）（4）（1）

【考点】平行投影．

【分析】根据平行投影的规律：早晨到傍晚物体的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长可得．

【解答】解：根据平行投影的规律知：顺序为（4）（3）（1）（2）．

故选B．

5．顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是（）

A．矩形              B．平行四边形              C．菱形              D．任意四边形

【考点】三角形中位线定理．

【分析】顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，理由为：根据题意画出四边形ABCD，E，F，G，H分别为各边的中点，写出已知，求证，由E，H分别为AB，AD的中点，得到EH为三角形ABD的中位线，根据三角形的中位线定理得到EH平行于BD，且等于BD的一半，同理FG平行于BD，且等于BD的一半，可得出EH与FG平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得出EFGH为平行四边形，再由EF为三角形ABC的中位线，得出EF等于AC的一半，由EH等于BD的一半，且AC=BD，可得出EH=EF，根据邻边相等的平行四边形为菱形可得证．

【解答】解：顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是菱形，

如图所示：

已知：E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，且AC=BD，

求证：四边形EFGH为菱形，

证明：∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，

∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，

∴EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=FG=BD，

∴四边形EFGH为平行四边形，

又EF为△ABC的中位线，

∴EF=AC，又EH=BD，且AC=BD，

∴EF=EH，

∴四边形EFGH为菱形．

故选C

6．如图，身高1.6米的学生小李想测量学校的旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC=2米，BC=8米，则旗杆的高度是（）

A．6.4米              B．7米              C．8米              D．9米

【考点】相似三角形的应用．

【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．

【解答】解：设旗杆高度为h，

由题意得，h=8米．

故选：C．

7．如图所示的立体图形，其主视图是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找出几何体的主视图即可．

【解答】解：如图所示的立体图形，其主视图是，

故选B

8．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（）

A．4              B．3              C．2              D．

【考点】菱形的性质．

【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=CD，∠B=∠D=60°，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，

∴AE=AF，

∵∠B=60°，

∴∠BAD=120°，

∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=EF，∠AEF=60°，

∵AB=4，

∴BE=2，

∴AE==2，

∴EF=AE=2，

过A作AM⊥EF，

∴AM=AE•sin60°=3，

∴△AEF的面积是： EF•AM=×2×3=3．

故选：B．

二、填空题（每小题3分，共24分）

9．如图，要得到△ABC∽△ADE，只需要再添加一个条件是　DE∥BC（答案不唯一）　．

【考点】相似三角形的判定．

【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可．

【解答】解：由图可得，∠BAC=∠DAE，根据三角形的判定：两角对应相等，两三角形相似．

可添加条件：DE∥BC，则∠ABC=∠ADE，

则△ADE∽△ABC，

故答案为：DE∥BC（答案不唯一）．

10．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么方程是　50+50（1+x）+50（1+x）2=196　．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【分析】根据7月份的表示出8月和九月的产量即可列出方程．

【解答】解：∵七月份生产零件50万个，设该厂八九月份平均每月的增长率为x，

∴八月份的产量为50（1+x）万个，九月份的产量为50（1+x）2万个，

∴50+50（1+x）+50（1+x）2=196，

故答案为：50+50（1+x）+50（1+x）2=196．

11．在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE=　　．

【考点】矩形的性质．

【分析】根据∠EDC：∠EDA=1：2，可得∠EDC=30°，∠EDA=60°，进而得出△OCD是等边三角形，再由AC=10，即可求得DE．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD=BD=5，

∴OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD，

∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，

∴∠EDC=30°，∠EDA=60°，

∵DE⊥AC，

∴∠DEC=90°，

∴∠DCE=90°﹣∠EDC=60°，

∴∠ODC=∠OCD=60°，

∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，

∴∠COD=60°，

∴△OCD是等边三角形，

DE=sin60°•OD=×5=，

故答案为．

12．已知菱形的面积为24cm2，一条对角线长为6cm，则这个菱形的周长是　20　厘米．

【考点】菱形的性质．

【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线的长度，再根据勾股定理可求出边长，继而可求出周长．

【解答】解：如图所示：

∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，AC=6cm，S菱形ABCD=24cm2，

∴BD=8cm，AO=3cm，BO=4cm，

在Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2，

即有AB2=32+42，

解得：AB=5cm，

∴菱形的周长=4×5=20cm．

故答案为：20．

13．已知点M是线段AB的黄金分割点，且AM＞MB，若AB=40，则AM=　　．

【考点】黄金分割．

【分析】根据黄金分割点的定义，知AM是较长线段；则AM=AB，代入数据即可得出AM的长．

【解答】解：由于点M为线段AB=40的黄金分割点，且AM是较长线段，

则AM=AB=×40=20﹣20．

故答案为：20﹣20．

14．已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个不相等的实数根，则α+β+αβ的值为　3　．

【考点】根与系数的关系．

【分析】据根与系数的关系α+β=5，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．

【解答】解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，

∴α+β=5，αβ=﹣2，

∴α+β+αβ=5﹣2=3，

故答案为3．

15．若关于x的方程（m﹣3）x|m|﹣1+2x﹣7=0是一元二次方程，则m=　﹣3　．

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义可得：|m|﹣1=2，且m﹣3≠0，再解即可．

【解答】解：由题意得：|m|﹣1=2，且m﹣3≠0，

解得：m=﹣3，

故答案为：﹣3．

16．已知，则=　　．

【考点】比例的性质．

【分析】先由已知条件可得a=b，e=f，再把它们代入，计算即可．

【解答】解：∵，

∴a=b，e=f，

∴===．

故答案为．

三、解答题（共24分）

17．解方程：x2﹣2x﹣8=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】方程左边的二次三项式便于因式分解，右边为0，可运用因式分解法解方程．

【解答】解：原方程化为（x+2）（x﹣4）=0，

解得x+2=0，x﹣4=0，

x1=﹣2，x2=4．

18．5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）=0（用因式分解法）．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式（x﹣3）（5x﹣2）=0，进而可得x﹣3=0，5x﹣2=0，再解即可．

【解答】解：5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）=0，

（x﹣3）（5x﹣2）=0，

x﹣3=0，5x﹣2=0，

则x1=3，x2=．

19．画出如图几何体的三视图．

【考点】作图-三视图．

【分析】分别画出从几何体的正面、左边、上面看所得到的图形即可．

【解答】解：如图所示：

．

20．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆A、B，恰好被南岸的两棵树C、D遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河的宽度．

【考点】相似三角形的应用．

【分析】根据题意画出图形，构造出△PCD∽△PAB，利用相似三角形的性质解题．

【解答】解：过P作PF⊥AB，交CD于E，交AB于F，如图所示：

设河宽为x米．

∵AB∥CD，

∴∠PDC=∠PBF，∠PCD=∠PAB，

∴△PDC∽△PBA，

∴=，

∴，

依题意CD=20米，AB=50米，

∴，

解得：x=22.5（米）．

答：河的宽度为22.5米．

四、解答题（共48分）

21．如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．

【考点】平行投影；相似三角形的判定与性质；中心投影．

【分析】旗杆的高度=CD+BD所对应的物长，把相关数值代入即可求解．

【解答】解：过C作CE⊥AB于E，

∵CD⊥BD，AB⊥BD，

∴∠EBD=∠CDB=∠CEB=90°

∴四边形CDBE为矩形，

BD=CE=21，CD=BE=2

设AE=xm．

则1：1.5=x：21，

解得：x=14

故旗杆高AB=AE+BE=14+2=16米．

22．如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】猜想：AE⊥CG．由于四边形ABCD是正方形，那么AD=CD，∠ADC=90°，同理DG=DE，∠GDE=90°，可知∠ADC=∠GDE，再根据等式性质可得∠CDG=∠ADE，利用SAS可证△CDG≌△ADE，于是∠CGD=∠AED，由于∠GDE=90°，根据直角三角形的性质可得∠2+∠AED=90°，而∠1=∠2，根据等式性质可得∠1+∠CGD=∠2+∠AED=90°，易证AE⊥CG．

【解答】解：猜想：AE⊥CG．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

同理DG=DE，∠GDE=90°，

∴∠ADC=∠GDE，

∴∠ADC+∠ADG=∠GDE+∠ADG，

∴∠CDG=∠ADE，

在△CDG和△ADE中，

，

∴△CDG≌△ADE（SAS），

∴∠CGD=∠AED，

∵∠GDE=90°，

∴∠2+∠AED=90°，

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠CGD=∠2+∠AED=90°，

∴∠GHE=90°，

∴AE⊥CG．

23．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

【考点】正方形的判定；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．

【解答】证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴∠PMD=∠PND=90°，

∵∠ADC=90°，

∴四边形MPND是矩形，

∵∠ADB=∠CDB，

∴∠ADB=45°

∴PM=MD，

∴四边形MPND是正方形．

24．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣2m2+m=0（m为实数）有两个实数根x1、x2．

（1）当m为何值时，x1≠x2；

（2）若x12+x22=2，求m的值．

【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．

【分析】（1）当m为何值时x1≠x2，即方程有两个不同的根，则根的判别式△＞0．

（2）依据根与系数关系，可以设方程的两根是x1、x2，则可以表示出两根的和与两根的积，

依据x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即可得到关于m的方程，即可求得m的值．

【解答】解：（1）x2+（m﹣1）x﹣2m2+m=0（m为实数）有两个实数根x1、x2．

∵a=1，b=m﹣1，c=﹣2m2+m，

∴△=b2﹣4ac=（m﹣1）2﹣4（﹣2m2+m）=m2﹣2m+1+8m2﹣4m=9m2﹣6m+1=（3m﹣1）2，

要使x1≠x2，则应有△＞0，即△=（3m﹣1）2＞0，

∴m≠；

（2）根据题意得：x1+x2=﹣=1﹣m，x1•x2==﹣2m2+m

∵x12+x22=2，即x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，即（1﹣m）2﹣2（﹣2m2+m）=2，

解得m1=，m2=1．

25．如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上．

（1）求证：△ABD∽△CAE；

（2）如果AC=BD，AD=2BD，设BD=a，求BC的长．

【考点】相似三角形的判定；勾股定理．

【分析】（1）由BD∥AC，得∠EAC=∠B；根据已知条件，易证得AB：AC和BD：AE的值相等，由此可根据SAS判定两个三角形相似．

（2）首先根据已知条件表示出AB、AD、AC的值，进而可由勾股定理判定∠D=∠E=90°；根据（1）得出的相似三角形的相似比，可表示出EC、AE的长，进而可在Rt△BEC中，根据勾股定理求出BC的长．

【解答】（1）证明：∵BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上，

∴∠DBA=∠CAE，

又∵==3，

∴△ABD∽△CAE；

（2）连接BC，

解：∵AB=3AC=3BD，AD=2BD，

∴AD2+BD2=8BD2+BD2=9BD2=AB2，

∴∠D=90°，

由（1）得△ABD∽△CAE

∴∠E=∠D=90°，

∵AE=BD，EC=AD=BD，AB=3BD，

∴在Rt△BCE中，BC2=（AB+AE）2+EC2

=（3BD+BD）2+（BD）2=BD2=12a2，

∴BC=2a．

26．晓东在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：

如：解方程x（x+4）=6．

解：原方程可变形，得[（x+2）﹣2][（x+2）+2]=6．（x+2）2﹣22=6，（x+2）2=6+22，（x+2）2=10．

直接开平方并整理，得．

我们称晓东这种解法为“平均数法”．

（1）下面是晓东用“平均数法”解方程（x+2）（x+6）=5时写的解题过程．

解：原方程可变形，得

[（x+□）﹣◯][（x+□）+◯]=5．

（x+□）2﹣◯2=5，

（x+□）2=5+◯2．

直接开平方并整理，得x1=☆，x2=¤．

上述过程中的“□”，“◯”，“☆”，“¤”表示的数分别为　4　，　2　，　﹣1　，　﹣7　．

（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣3）（x+1）=5．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】（1）根据阅读材料中的信息确定出上述过程中的“□”，“◯”，“☆”，“¤”表示的数即可；

（2）利用“平均数法”解方程即可．

【解答】解：（1）4，2，﹣1，﹣7（最后两空可交换顺序）；

故答案为：4，2，﹣1，﹣7；

（2）（x﹣3）（x+1）=5；

原方程可变形，得[（x﹣1）﹣2][（x﹣1）+2]=5，

整理得：（x﹣1）2﹣22=5，

（x﹣1）2=5+22，即（x﹣1）2=9，

直接开平方并整理，得x1=4，x2=﹣2．