2018年岳阳中考数学模拟试题word版（含解析）

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2018年岳阳中考数学模拟试题

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请你将选择的答案字母序号填入题中的括号内）

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．              B．              C．              D．

2．下列计算正确的是（　　）

A．a2•a3=a6              B．y3÷y3=y              C．3m+3n=6mn              D．（x3）2=x6

3．下列说法正确的是（　　）

A．为了了解全国中学生的心理健康情况，应采用全面调查的方式

B．一组数据5，7，7，7，7，7，8，10的众数和中位数都是7

C．一个游戏的中奖概率是0.1，则做10次这样的游戏一定会中奖

D．若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定

4．下列判断正确的是（　　）

A．a＞b，c＜0，则ac＞bc

B．垂直于同一直线的两条直线平行

C．三角形的外角大于内角

D．直径所对的圆周角是直角

5．下列四个水平放置的几何体中，三视图如图所示的是（　　）

A．立方体              B．三棱柱              C．圆柱              D．长方体

6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（　　）

A．ac＞0

B．方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3

C．2a﹣b=0

D．当x＞0时，y随x的增大而减小

7．如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（　　）

A．              B．              C．              D．

8．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于E，交过点A的切线于D，交AC于F，则下列结论①AF=CF；②∠D=∠BAC；③AD=AC；④OD⊥AC中，正确的是（　　）

A．①②③              B．①②④              C．②③④              D．①③④

二、填空题（本大题共8道小题，每小题4分，满分共32分）

9．﹣3的绝对值是　　．

10．把多项式4a3﹣a分解因式的结果是　　．

11．已知圆锥主视图是边长为4的正三角形（即底面直径与母线长相等），则圆锥侧面积展开图扇形的圆心角为　　．

12．一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则a的取值范围是　　

13．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1：3：5：1，从中随机抽一份恰好为最低分数段的概率是　　．

14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为　　．

15．如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体，图（1）中有1个立方体，图（2）中有4个立方体，图（3）中有9个立方体，…按这样的规律叠放下去，第8个图中小立方体个数是　　．

16．如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC=1，则图中三个阴影部分的面积和为　　．

三、解答题（本大题8小题，满分共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．计算：（﹣）﹣1﹣4cos30°﹣（π+2013）0+．

18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

19．先化简，再选择一个你所喜欢的数代入求值：（ +）÷．

20．如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积．

21．第三十届夏季奥林匹克运动会将于2012年7月27日至8月12日在英国伦敦举行，目前正在进行火炬传递活动．某校学生会为了确定近期宣传专刊的主题，想知道学生对伦敦奥运会火炬传递路线的了解程度，决定随机抽取部分学生进行一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了如图两幅上不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　　名；

（2）请补全折线统计图，并求出扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的大小；

（3）若该校共有1200名学生，请根据上述调查结果估计该校学生中对伦敦奥运火炬传递路线达到了“了解”和“基本了解”程度的总人数．

22．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．

（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？

23．如图①，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，求证：MN=AM+CN．

如图②，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上．若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想并给予证明．

24．如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

2018年岳阳中考数学模拟试题参考答案

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请你将选择的答案字母序号填入题中的括号内）

1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形；

C、是轴对称图形，也是中心对称图形；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形．

故选C．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．下列计算正确的是（　　）

A．a2•a3=a6              B．y3÷y3=y              C．3m+3n=6mn              D．（x3）2=x6

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】结合选项根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方的概念及运算法则求解即可．

【解答】解：A、a2•a3=a5≠a6，本选项错误；

B、y3÷y3=1≠y，本选项错误；

C、3m+3n=3（m+n）≠6mn，本选项错误；

D、（x3）2=x6，本选项正确．

故选D．

【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法和幂的乘方与积的乘方的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．

3．下列说法正确的是（　　）

A．为了了解全国中学生的心理健康情况，应采用全面调查的方式

B．一组数据5，7，7，7，7，7，8，10的众数和中位数都是7

C．一个游戏的中奖概率是0.1，则做10次这样的游戏一定会中奖

D．若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定

【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；中位数；众数；方差．

【分析】分别利用概率的意义以及抽样调查的意义以及中位数、众数的定义和方差的意义分别分析得出答案．

【解答】解：A、为了了解全国中学生的心理健康情况，应采用抽样调查的方式，故此选项错误；

B、一组数据5，7，7，7，7，7，8，10的众数和中位数都是7，正确；

C、一个游戏的中奖概率是0.1，则做10次这样的游戏不一定会中奖，故此选项错误；

D、若甲组数据的方差S甲2=0.05，乙组数据的方差S乙2=0.1，则甲组数据比乙组数据稳定，故此选项错误．

故选：B．

【点评】此题主要考查了概率的意义以及抽样调查的意义以及中位数、众数的定义和方差的意义，正确把握相关定义是解题关键．

4．下列判断正确的是（　　）

A．a＞b，c＜0，则ac＞bc

B．垂直于同一直线的两条直线平行

C．三角形的外角大于内角

D．直径所对的圆周角是直角

【考点】圆周角定理；不等式的性质；平行线的判定；三角形的外角性质．

【分析】分别根据等式的性质、平行线的判定定理、三角形外角的性质及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可．

【解答】解：A、当a=1，b=﹣2时，a＞b，c＜0，则ac＜bc，故本选项错误；

B、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故本选项错误；

C、三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，故本选项错误；

D、符合圆周角定理．

故选D．

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．

5．下列四个水平放置的几何体中，三视图如图所示的是（　　）

A．立方体              B．三棱柱              C．圆柱              D．长方体

【考点】由三视图判断几何体；简单几何体的三视图．

【分析】通过主视图、左视图可对A、D进行判断；通过俯视图对B、C进行判断．

【解答】解：A、立方体的三视图都是正方形，所以A选项错误；

B、三棱柱的俯视图为三角形，所以B选项错误；

C、圆柱得俯视图为圆，所以C选项错误；

D、长方形的主视图和左视图为矩形，俯视图为正方形，所以D选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．

6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（　　）

A．ac＞0

B．方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3

C．2a﹣b=0

D．当x＞0时，y随x的增大而减小

【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．

【专题】计算题；压轴题．

【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点，逐一判断．

【解答】解：A、∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，ac＜0，故A错误；

B、∵抛物线对称轴是x=1，与x轴交于（3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3，故B正确；

C、∵抛物线对称轴为x=﹣=1，

∴b=﹣2a，

∴2a+b=0，故C错误；

D、∵抛物线对称轴为x=1，开口向下，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故D错误．

故选：B．

【点评】本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系．关键是会利用对称轴的值求2a与b的关系，对称轴与开口方向确定增减性，以及二次函数与方程之间的转换．

7．如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（　　）

A．              B．              C．              D．

【考点】动点问题的函数图象．

【专题】几何动点问题；压轴题；分类讨论．

【分析】△AMN的面积=AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；

【解答】解：（1）当0＜x≤1时，如图，

在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；

∵MN⊥AC，∴MN∥BD；

∴△AMN∽△ABD，

∴，

即，，MN=x；

∴y=AP×MN=x2（0＜x≤1），

∵，∴函数图象开口向上；

（2）当1＜x＜2，如图，

同理证得，△CDB∽△CNM，

，

即，，MN=2﹣x；

∴y=AP×MN=x×（2﹣x），

y=﹣x2+x；

∵﹣，∴函数图象开口向下；

综上，答案C的图象大致符合；

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．

8．如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于E，交过点A的切线于D，交AC于F，则下列结论①AF=CF；②∠D=∠BAC；③AD=AC；④OD⊥AC中，正确的是（　　）

A．①②③              B．①②④              C．②③④              D．①③④

【考点】切线的性质；垂径定理．

【分析】由AB为半圆O的直径，得到∠C=90°，根据平行线的性质得到∠OEA=90°，由垂直的定义得到OD⊥AC，故④正确，根据垂径定理得到=，求得AF=CF，故①正确；根据平行线的性质得到∠B=∠AOD，由切线的性质得到∠DAO=90°，根据余角的性质得到∠D=∠BAC，故②正确，由已知条件不能判断△ADO≌△ABC，于是得到AD不一定等于AC，故③错误．

【解答】解：∵AB为半圆O的直径，

∴∠C=90°，

∵OD∥BC，

∴∠OEA=90°，

∴OD⊥AC，故④正确，

∴=，

∴AF=CF，故①正确；

∵OE∥BC，

∴∠B=∠AOD，

∵AD是⊙O的切线，

∴∠DAO=90°，

∴∠D+∠AOD=90°，

∵∠BAC+∠B=90°，

∴∠D=∠BAC，故②正确，

∵由已知条件不能判断△ADO≌△ABC，

∴AD不一定等于AC，故③错误，

故选B．

【点评】本题考查切线的性质、垂径定理，平行线的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．

二、填空题（本大题共8道小题，每小题4分，满分共32分）

9．﹣3的绝对值是　3　．

【考点】绝对值．

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．

【解答】解：﹣3的绝对值是3．

【点评】规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

10．把多项式4a3﹣a分解因式的结果是　a（2a+1）（2a﹣1）　．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【专题】因式分解．

【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=a（4a2﹣1）=a（2a+1）（2a﹣1），

故答案为：a（2a+1）（2a﹣1）

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

11．已知圆锥主视图是边长为4的正三角形（即底面直径与母线长相等），则圆锥侧面积展开图扇形的圆心角为　180°　．

【考点】圆锥的计算；弧长的计算；简单几何体的三视图．

【分析】由于圆锥主视图是边长为4的正三角形（即底面直径与母线长相等），由此得到圆锥的底面半径和母线长，而圆锥的侧面展开图是扇形，接着利用扇形的面积公式即可求解．

【解答】解：设圆锥侧面积展开图扇形的圆心角的度数为n，

∵圆锥主视图是边长为4的正三角形（即底面直径与母线长相等），

∴圆锥的底面半径和母线长分别是2和4，

∴S圆锥侧面积=×2×2×π×4=，

∴n=180°．

故答案为：180°．

【点评】本题主要考查圆锥侧面展开图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由立体图得到平面图形；学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误

12．一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则a的取值范围是　a≤2且a≠1　

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【专题】计算题．

【分析】由一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，则a﹣1≠0，即a≠1，且△≥0，即△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）=8﹣4a≥0，然后解两个不等式得到a的取值范围．

【解答】解：∵一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有实数根，

∴a﹣1≠0即a≠1，且△≥0，即有△=（﹣2）2﹣4（a﹣1）=8﹣4a≥0，解得a≤2，

∴a的取值范围是a≤2且a≠1．

故答案为a≤2且a≠1．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义．

13．小亮把全班50名同学的期中数学测试成绩绘成如图所示的条形图，其中从左起第一、二、三、四个小长方形高的比是1：3：5：1，从中随机抽一份恰好为最低分数段的概率是　　．

【考点】概率公式；条形统计图．

【分析】算出最低分数段的学生人数，根据概率公式解答即可．

【解答】解：设第一个长方形的高为x，则二、三、四个小长方形高分别为3x，5x，x，

由题意得x+3x+5x+x=50，

解得x=5，

即最低分为5人，

根据概率公式从中随机抽一份恰好为最低分数段的概率是5÷10=从中同时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的概率分别是=．

故答案为：．

【点评】本题考查概率公式，频率分布直方图的知识，难度不大，注意掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

14．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为　9　．

【考点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．

【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，

∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，

∵MN∥BC，

∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，

∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，

∴BM=ME，EN=CN，

∴MN=ME+EN，

即MN=BM+CN．

∵BM+CN=9

∴MN=9，

故答案为：9．

【点评】题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME，△CNE是等腰三角形．

15．如图是由大小相同的小立方体木块叠入而成的几何体，图（1）中有1个立方体，图（2）中有4个立方体，图（3）中有9个立方体，…按这样的规律叠放下去，第8个图中小立方体个数是　64　．

【考点】规律型：图形的变化类．

【专题】规律型．

【分析】观察可得，每增加一层，小方体木块为图形中层数的平方；如第二个图形中小方体的个数为22=4，故第8个叠放的图形中，小方体木块的个数就是82．

【解答】解：观察可得：图（1）中有立方体有1层，其个数为12=1个立方体；

图（2）中有2层立方体，其个数为22=4个立方体；

图（3）中有3层立方体，其个数为32=9个立方体，

…

可以发现：图（n）中立方体的层数为n，其个数为n2．

所以，第8个图中小立方体个数是82=64．

故答案为：64．

【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．

16．如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC=1，则图中三个阴影部分的面积和为　13　．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【专题】规律型．

【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明AC∥DE∥HF，再根据全等三角形对应边相等BC=CE=EF，然后利用平行线分线段成比例定理求出HF=3PC，KE=2PC，所以PC=DK，设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，表示出△DQK的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积．

【解答】解：∵△ABC≌△DCE≌△HEF，

∴∠ACB=∠DEC=∠HFE，BC=CE=EF，

∴AC∥DE∥HF，

∴=， ==，

∴KE=2PC，HF=3PC，

又∵DK=DE﹣KE=3PC﹣2PC=PC，

∴△DQK≌△CQP（相似比为1）

设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，

则xh=1，整理得xh=2，

S△BPC=x•2h=xh=2，

S四边形CEKQ=×3x•2h﹣2=3xh﹣2=3×2﹣1=6﹣1=5，

S△EFH=×3x•2h=3xh=6，

∴三个阴影部分面积的和为：2+5+6=13．

故答案为13．

【点评】本题主要利用全等三角形的性质，找出阴影部分的图形边的关系和三角形的面积公式的解题的关键．

三、解答题（本大题8小题，满分共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．计算：（﹣）﹣1﹣4cos30°﹣（π+2013）0+．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题；实数．

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．

【解答】解：原式=﹣2﹣4×﹣1+2=﹣3．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同小取小”确定不等式组的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．

【解答】解：解不等式x+3＜4，得：x＜1，

解不等式3（2﹣x）﹣9＞6，得：x＜﹣3，

∴不等式组的解集为：x＜﹣3，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

19．先化简，再选择一个你所喜欢的数代入求值：（ +）÷．

【考点】分式的化简求值．

【分析】先算括号里面的，再算除法，选出合适的x的值代入进行计算即可．

【解答】解：原式=•（x+2）（x﹣2）

=x2﹣2x+2x+4

=x2+4．

当x=1时，原式=1+4=5．

【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．

20．如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，D是OA延长线上的一点，连接DC，且∠B=∠D=30°．

（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若AC=6，求图中弓形（即阴影部分）的面积．

【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形．

【分析】（1）连接OC．欲证明DE是⊙O的切线，只需证明DC⊥OC即可；

（2）利用弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积计算阴影部分的面积即可．

【解答】解：（1）直线CD是⊙O的切线

理由如下：

如图，连接OC

∵∠AOC、∠ABC分别是AC所对的圆心角、圆周角

∴∠AOC=2∠ABC=2×30°=60°

∴∠D+∠AOC=30°+60°=90°

∴∠DCO=90°

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线

（2）过O作OE⊥AC，点E为垂足

∵OA=OC，∠AOC=60°

∴△AOC是等边三角形

∴OA=OC=AC=6，∠OAC=60°

在Rt△AOE中

OE=OA•sin∠OAC=6•sin60°=3

∴S△AOC=

∵S扇形AOC==6π

∴S阴=S扇形AOC﹣S△AOC=6π﹣9

【点评】本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形；证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线．

21．第三十届夏季奥林匹克运动会将于2012年7月27日至8月12日在英国伦敦举行，目前正在进行火炬传递活动．某校学生会为了确定近期宣传专刊的主题，想知道学生对伦敦奥运会火炬传递路线的了解程度，决定随机抽取部分学生进行一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了如图两幅上不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有　60　名；

（2）请补全折线统计图，并求出扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的大小；

（3）若该校共有1200名学生，请根据上述调查结果估计该校学生中对伦敦奥运火炬传递路线达到了“了解”和“基本了解”程度的总人数．

【考点】折线统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）用了解很少的学生数除以其所占的百分比即可求出答案；

（2）用总数减去不了解、了解很少、了解的学生数，即可补全折线统计图；再用360°乘以基本了解部分所占的百分比即可求出扇形的圆心角的度数；

（3）用该校学生数乘以对伦敦奥运火炬传递路线达到了“了解”和“基本了解”程度的总人数所占的百分比即可．

【解答】解：（1）根据题意得：30÷50%=60（名）

故答案为：60．

（2）如图：60﹣10﹣15﹣30=5（名）；

“基本了解”部分所对应扇形的圆心角是：360°×=90°；

（3）该校学生中对伦敦奥运火炬传递路线达到了“了解”和“基本了解”程度的总人数是：1200×=400（名）．

【点评】本题考查了折线统计图和扇形统计图，解决本题的关键是从两种统计图中整理出解题的有关信息，在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．

22．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．

（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？

（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？

【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元，可列出方程组，解方程组即可求得；

（2）设生产A产品m件，生产B产品（60﹣m）件，根据用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件即可列不等式求得m的范围，然后确定正整数解即可确定方案．

【解答】解：（1）解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，

则，解得，

所以甲材料每千克25元，乙材料每千克35元；

（2）设生产A产品m件，生产B产品（60﹣m）件，则生产这60件产品的材料费为

25×4m+35×1m+25×3（60﹣m）+35×3（60﹣m）=﹣45m+10800，

由题意：﹣45m+10800≤9900，解得m≥20，

又∵60﹣m≥38，解得m≤22，

∴20≤m≤22，

∴m的值为20，21，22，

共有三种方案：

①生产A产品20件，生产B产品40件；

②生产A产品21件，生产B产品39件；

③生产A产品22件，生产B产品38件．

【点评】本题考查了一次函数的应用：通过实际问题列出一次函数关系式，然后根据一次函数的性质解决问题．也考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用．

23．如图①，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，求证：MN=AM+CN．

如图②，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上．若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想并给予证明．

【考点】梯形；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点M到达点M′，根据旋转变换的性质，△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后证明M′、C、N三点共线，再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证．

（2）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点M到达点M′，根据旋转变换的性质，△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后证明M′、C、N三点共线，再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证．

【解答】（1）证明：如图1，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，

∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，

∴∠BCM′+∠BCD=180°，

∴点M′、C、N三点共线，

∵∠MBN=45°=∠ABC，

∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC﹣∠MBN=∠ABC=45°，

∴∠MBN=∠M′BN，

在△BMN和△BM′N中，

∵，

∴△BMN≌△BM′N（SAS），

∴MN=M′N，

又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，

∴MN=AM+CN；

（2）解：MN=AM+CN．

理由如下：

如图2，∵BC∥AD，AB=BC=CD，

∴梯形ABCD是等腰梯形，

∴∠A+∠BCD=180°，

把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则△ABM≌△CBM′，

∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，

∴∠BCM′+∠BCD=180°，

∴点M′、C、N三点共线，

∵∠MBN=∠ABC，

∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC﹣∠MBN=∠ABC，

∴∠MBN=∠M′BN，

在△BMN和△BM′N中，

∵，

∴△BMN≌△BM′N（SAS），

∴MN=M′N，

又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，

∴MN=AM+CN．

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把MN、AM、CN通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高．

24．如图已知：直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D的坐标为（﹣1，0），在直线y=﹣x+3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）首先确定A、B、C三点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）△ABO为等腰直角三角形，若△ADP与之相似，则有两种情形，如答图1所示．利用相似三角形的性质分别求解，避免遗漏；

（3）如答图2所示，分别计算△ADE的面积与四边形APCE的面积，得到面积的表达式．利用面积的相等关系得到一元二次方程，将点E是否存在的问题转化为一元二次方程是否有实数根的问题，从而解决问题．需要注意根据（2）中P点的不同位置分别进行计算，在这两种情况下，一元二次方程的判别式均小于0，即所求的E点均不存在．

【解答】解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）

∵抛物线经过A、B、C三点，

∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入y=ax2+bx+c，

得方程组

解得：

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3            

（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形，如答图1所示，

若△ABO∽△AP1D，则

∴DP1=AD=4，

∴P1（﹣1，4）

若△ABO∽△ADP2 ，过点P2作P2 M⊥x轴于M，AD=4，

∵△ABO为等腰三角形，

∴△ADP2是等腰三角形，

由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合，

∴P2（1，2）

综上所述，点P的坐标为P1（﹣1，4），P2（1，2）；

（3）不存在．

理由：如答图2，设点E（x，y），则 S△ADE=

①当P1（﹣1，4）时，

S四边形AP1CE=S△ACP1+S△ACE==4+|y|

∴2|y|=4+|y|，

∴|y|=4

∵点E在x轴下方，

∴y=﹣4，代入得：x2﹣4x+3=﹣4，即x2﹣4x+7=0，

∵△=（﹣4）2﹣4×7=﹣12＜0

∴此方程无解

②当P2（1，2）时，

S四边形AP2CE=S△ACP2+S△ACE==2+|y|，

∴2|y|=2+|y|，

∴|y|=2

∵点E在x轴下方，

∴y=﹣2，代入得：x2﹣4x+3=﹣2，即x2﹣4x+5=0，

∵△=（﹣4）2﹣4×5=﹣4＜0

∴此方程无解

综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E．

【点评】本题重点考查了抛物线的相关性质、相似三角形的性质、图形面积的计算以及一元二次方程根的判别式，涉及的知识点较多．注意在（2）（3）问中，均有两种情形，需要分类讨论计算，避免漏解；（3）问中是否存在点E的问题，转化为一元二次方程实数根个数的问题，需要注意这种解题方法．作为中考压轴题，本题综合性强，难度较大，有利于提高学生的综合解题能力，是一道不错的题目．

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