向量夹角的范围

空间向量和平面向量夹角都是[0°,180°]。空间向量的夹角公式：cosθ=a*b/(|a|*|b|)，长度为0的向量叫做零向量，记为0。模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。

空间向量点乘的过程：

向量：u=(u1,u2,u3)v=(v1,v2,v3)

叉积公式：uxv={u2v3-v2u3,u3v1-v3u1,u1v2-u2v1}

点积公式：u*v=u1v1+u2v2+u3v33=lul*lvl*COS(U,V)

对于向量的运算，还有两个“乘法”，那就是点乘和叉乘了。点乘的结果就是两个向量的模相乘，然后再与这两个向量的夹角的余弦值相乘。

或者说是两个向量的各个分量分别相乘的结果的和。很明显，点乘的结果就是一个数，这个数对分析这两个向量的特点很有帮助。

如果点乘的结果为0，那么这两个向量互相垂直；如果结果大于0，那么这两个向量的夹角小于90度；如果结果小于0，那么这两个向量的夹角大于90度。