2018年阳泉中考数学模拟试题（word版，含答案）

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2018年阳泉中考数学模拟试题

一、数学模拟试题选择题

1．计算﹣2﹣3的结果是（）

A．﹣5              B．﹣1              C．1              D．5

2．如图，∠FAB与∠ECD都是锐角，其中AB∥CD，AF∥CE，射线AB与CE相交于点O，若∠FAB=60°，则∠ECD的度数是（）

A．30°              B．60°              C．80°              D．120°

3．下列运算正确的是（）

A．（﹣a2）2=﹣a4              B． +=2              C．（π﹣2）0=0              D．（）﹣2=9

4．某区计划从甲、乙、丙、丁四支代表队中推选一支参加市级汉字听写，为此，该区组织了五轮选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙、丙、丁四支代表队的平均分都是95分，而方差依次为s甲2=0.2，s乙2=0.8，s丙2=1.6，s丁2=1.2．根据以上数据，这四支代表队中成绩最稳定的是（）

A．甲代表队              B．乙代表队              C．丙代表队              D．丁代表队

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCD的外角∠DCE=70°，则∠BAD的度数为（）

A．140°              B．110°              C．220°              D．70°

6．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（）

A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6

B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的频率约为0.6

C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200

D．这个盒子中的白球定有28个

7．对于反比例函数y=，下列四个结论正确的是（）

A．图象经过点（2，2）              B．y随x的增大而减小

C．图象位于第一、三象限              D．当x＜1时，y的值都大于2

8．用一个平面按如图所示的方式“切割”正方体，可以得到一个正方形的截面，将该正方体的侧面展开，“切割线”（虚线）位置正确的是（）

A．              B．              C．              D．

9．水分子的直径为4×10﹣10m，而一滴水中大约有1.67×1021个水分子，若将一滴水中的所有分子一个接着一个排列在一条直线上，其总长度用科学记数法表示为（）

A．6.68×1031m              B．6.68×10﹣11m              C．6.68×10﹣31m              D．6.68×1011m

10．如图，某小区为增加居民的活动面积，将一块矩形空地设计为休闲区域，其中正六边形ABCDEF的顶点均在矩形边上，正六边形内部有一正方形GHIJ．根据设计，图中阴影部分种植草坪，则草坪面积为（）

A．a2              B．（ +1）a2              C．2a2              D． a2

二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）

11．计算（a﹣2）2的结果是．

12．二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是．

13．学校图书馆有甲、乙两名同学担任志愿者，他们二人各自在周六、日两天中任意选择一天参加图书馆的公益活动，则该图书馆恰好周六、周日都有志愿者参加公益活动的概率是．

14．分式方程+=的解为．

15．如图，直线y=kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三角形OBC，将△OBCB沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线AB上，则k的值为．

16．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，线段EF与BH相交于点P，DF与GH相交于点Q．若四边形HPFQ是矩形，则的值为．

三、简答题（共8个小题，共72分）

17．（1）先化简，再求值：（ +）÷，其中x=﹣1．

（2）解不等式组，并将其解集表示在数轴上．

18．为了解某市七年级学生参加社会实践活动的情况，有关部门随机调查了该市部分七年级学生一学期参加社会实践活动的天数，并将调查结果绘制成下面的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）这次接受随机调查的学生有人；

（2）请将上面的两幅图补充完整；

（3）被调查学生一学期参加社会实践活动天数的平均数是天，中位数是天，众数是天；

（4）若该市七年级学生40000人，请根据调查结果估计：该市七年级学生中一学期参加综合实践活动的天数超过5天的学生大约有多少人？

19．（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值；

（2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求：

①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；

②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；

③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．

20．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶即可到达B地．已知AC=120千米，∠A=30°，∠B=135°，求隧道开通后汽车从A地到B地行驶多少千米？

21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，以C为顶点在△ABC外侧作∠ACM=∠ABC．

（1）判断射线CM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）延长BC到点D，使BC=CD，连接AD与⊙O交于点E，若AB=6，∠ABC=60°，则阴影部分的面积为．

22．某城区为了改善全区中、小学办学条件，去年分三批为学校配备了教学器材，其中第三批共投入经费144000元．采购了电子白板16块和投影机8台．已知1块电子白板的单价比1台投影机的多3000元．

（1）求购买1块电子白板和一台投影机各需多少元？

（2）已知该区去年第一批教学器材投入经费为100000元，后续两批经费的增长率相同，试求该区去年教学器材投入的经费总额．

23．问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究．

已知，如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段OC上一点，过点A作BE的垂线，交线段OB于点G，垂足为点F，易知：OG=OE．

变式探究：

分析完图1之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题，请回答：

（1）小彬：如图2，将图1中的点E改为线段OC延长线上的一点，过点A作BE 垂线，交OB的延长线于点G，垂足为点F．求证：OG=OE．

（2）小颖：如图3，将图中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且∠ABC=60°，其余条件不变，试求的值．

拓展延伸：

（3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图4，将图3中的“∠ABC=60°”改为“∠ABC=α”，并且点E，G分别在OC，OB的延长线上，其余条件不变，直接用含“α”的式子表示的值．

24．如图1，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣3），过点B，C的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点D，E（D在E的左侧），直线DC与线段AB交于点F．

（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；

（2）求点F的坐标；

（3）如图2，设动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿射线ED运动，过点P作直线DC的平行线l，过点F作x轴的平行线，交直线l于点Q．设点P的运动时间为t秒．

①当点P在射线ED上运动时，四边形PQFD能否成为菱形？若能，求出相应的t的值；若不能，说明理由；

②当0≤t≤4时，设四边形PQFD与四边形ODBC重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围．

2018年阳泉中考数学模拟试题参考答案

一、选择题

1．计算﹣2﹣3的结果是（）

A．﹣5              B．﹣1              C．1              D．5

【考点】有理数的减法．

【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数即可求解．

【解答】解：﹣2﹣3=﹣2+（﹣3）=﹣5．

故选：A．

【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减法法则是解决本题的关键．

2．如图，∠FAB与∠ECD都是锐角，其中AB∥CD，AF∥CE，射线AB与CE相交于点O，若∠FAB=60°，则∠ECD的度数是（）

A．30°              B．60°              C．80°              D．120°

【考点】平行线的性质．

【分析】根据AB∥CD，得出∠EOB=∠ECD，再根据AF∥CE，得出∠EOB=∠FAB解答即可．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠EOB=∠ECD，

∵AF∥CE，

∴∠EOB=∠FAB，

∴∠FAB=∠ECD=60°，

故选B

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等．

3．下列运算正确的是（）

A．（﹣a2）2=﹣a4              B． +=2              C．（π﹣2）0=0              D．（）﹣2=9

【考点】幂的乘方与积的乘方；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】根据积的乘方、二次根式的化简，0次幂和负指数幂，即可解答．

【解答】解：A．（﹣a2）2=a4，故错误；

B.，故错误；

C．（π﹣2）0=1，故错误；

D.，正确；

故选：D．

【点评】本题考查了积的乘方、二次根式的化简，0次幂和负指数幂，解决本题的关键是熟记相关法则．

4．某区计划从甲、乙、丙、丁四支代表队中推选一支参加市级汉字听写，为此，该区组织了五轮选拔赛，在这五轮选拔赛中，甲、乙、丙、丁四支代表队的平均分都是95分，而方差依次为s甲2=0.2，s乙2=0.8，s丙2=1.6，s丁2=1.2．根据以上数据，这四支代表队中成绩最稳定的是（）

A．甲代表队              B．乙代表队              C．丙代表队              D．丁代表队

【考点】方差．

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．

【解答】解：∵s=0.2，s=0.8，s=1.6，s=1.2，

∴s＜s＜s＜s，

∴这四支代表队中成绩最稳定的是甲代表队；

故选A．

【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCD的外角∠DCE=70°，则∠BAD的度数为（）

A．140°              B．110°              C．220°              D．70°

【考点】圆内接四边形的性质．

【分析】根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答．

【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BAD=∠DCE=70°，

故选D．

【点评】此题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键．

6．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（）

A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6

B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的频率约为0.6

C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200

D．这个盒子中的白球定有28个

【考点】利用频率估计概率．

【分析】观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，据此求解即可．

【解答】解：观察表格发现：随着试验次数的逐渐增多，摸到白球的频率越来越接近0.6，

故选B．

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×相应频率．

7．对于反比例函数y=，下列四个结论正确的是（）

A．图象经过点（2，2）              B．y随x的增大而减小

C．图象位于第一、三象限              D．当x＜1时，y的值都大于2

【考点】反比例函数的性质．

【分析】根据反比例函数的性质，k=2＞0，函数位于一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．

【解答】解：A、把点（2，2）代入反比例函数y=，1=2不成立，故选项错误；

B、当x＞0时，y随x的增大而减小，故选项错误．

C、∵k=2＞0，∴它的图象在第一、三象限，故选项正确；

D、∵当x＜0时图象位于第四象限，所以错误；

故选C．

【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）的性质：

①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．

②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．

8．用一个平面按如图所示的方式“切割”正方体，可以得到一个正方形的截面，将该正方体的侧面展开，“切割线”（虚线）位置正确的是（）

A．              B．              C．              D．

【考点】几何体的展开图．

【分析】将ABCD作为面向自己的面，展开即可．

【解答】解：将ABCD作为面向自己的面展开，

即可得到，

故选C．

【点评】本题考查了几何体的展开图，熟悉正方体的展开图，并逐步培养自己的空间意识．

9．水分子的直径为4×10﹣10m，而一滴水中大约有1.67×1021个水分子，若将一滴水中的所有分子一个接着一个排列在一条直线上，其总长度用科学记数法表示为（）

A．6.68×1031m              B．6.68×10﹣11m              C．6.68×10﹣31m              D．6.68×1011m

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：由题意可得：4×10﹣10×1.67×1021=6.68×1011，

故选：D．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

10．如图，某小区为增加居民的活动面积，将一块矩形空地设计为休闲区域，其中正六边形ABCDEF的顶点均在矩形边上，正六边形内部有一正方形GHIJ．根据设计，图中阴影部分种植草坪，则草坪面积为（）

A．a2              B．（ +1）a2              C．2a2              D． a2

【考点】列代数式．

【专题】几何图形问题．

【分析】首先根据正六边形的性质求得∠MAB的度数，然后求得三角形MAB的面积，用4个三角形的面积加上正方形的面积即可求得阴影部分的面积．

【解答】解：如图：∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠BAF=120°，AF=AB=a，

∴∠BAM=60°，

∴MA=，MB=a，

∴S△ABM=MA•MB=××a=a2，

∴S阴影=4S△ABM+S正方形GHIJ=（+1）a2，

故选B．

【点评】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是根据正六边形的性质求得三角形MAB的面积，难度不大．

二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）

11．计算（a﹣2）2的结果是a2﹣4a+4．

【考点】完全平方公式．

【分析】根据完全平方公式计算即可．

【解答】解：（a﹣2）2

=a2﹣4a+4，

故答案为：a2﹣4a+4

【点评】此题考查完全平方公式，关键是完全平方公式的形式计算．

12．二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是﹣4．

【考点】二次函数的最值．

【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数最值问题解答即可．

【解答】解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴二次函数y=x2+2x﹣3的最小值是﹣4．

故答案为：﹣4．

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．

13．学校图书馆有甲、乙两名同学担任志愿者，他们二人各自在周六、日两天中任意选择一天参加图书馆的公益活动，则该图书馆恰好周六、周日都有志愿者参加公益活动的概率是．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】列表或树状图将所有等可能的结果，利用概率公式求解即可．

【解答】解：列树状图得：

∵共有4种等可能的结果，周六、周日都有志愿者参加的有2种，

∴P（周六、周日都有志愿者参加公益活动）==．

故答案为：．

【点评】考查了列表或树状图的知识，解题的关键是能够将所有等可能的结果列举出来，难度不大．

14．分式方程+=的解为x=﹣1．

【考点】解分式方程．

【专题】计算题．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：x﹣3+x+2=x﹣2，

解得：x=﹣1，

经检验x=﹣1是分式方程的解．

故答案为：x=﹣1

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

15．如图，直线y=kx+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴左侧作等边三角形OBC，将△OBCB沿y轴翻折后，点C的对应点C′恰好落在直线AB上，则k的值为﹣．

【考点】翻折变换（折叠问题）；一次函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．

【分析】由等边三角形的性质和折叠的性质得出∠ABO=∠OBC=60°，由三角函数求出OA，得出点A的坐标，代入直线y=kx+4求出k即可．

【解答】解：∵△OBC是等边三角形，

∴∠OBC=60°，

∵直线y=kx+4，当x=0时，y=4，

∴B（0，4），

∴OB=4，

由折叠的性质得：∠ABO=∠OBC=60°，

∵∠AOB=90°，

∴OA=OB=4，

∴A（4，0），

把点A（4，0）代入直线y=kx+4得：

4k+4=0，

解得：k=﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、翻折变换的性质、三角函数、求一次函数的解析式；熟练掌握翻折变换和等边三角形的性质是解决问题的关键．

16．如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，线段EF与BH相交于点P，DF与GH相交于点Q．若四边形HPFQ是矩形，则的值为．

【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

【分析】由矩形ABCD中，四边形HPFQ是矩形，易证得△BEF∽△CFD，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，又由点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，即可求得答案．

【解答】解：∵四边形HPFQ是矩形，

∴∠EFD=90°，

∴∠BFE+∠CFD=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，AB=CD，

∴∠BFE+∠BEF=90°，

∴∠CFD=∠BEF，

∴△BEF∽△CFD，

∴，

∵点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，

∴，

∴=．

故答案为：．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．注意证得△BEF∽△CFD是解此题的关键．

三、简答题（共8个小题，共72分）

17．（1）先化简，再求值：（ +）÷，其中x=﹣1．

（2）解不等式组，并将其解集表示在数轴上．

【考点】分式的化简求值；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．

【分析】（1）根据运算顺序，先算括号里面的，再算除法，分子因式分解，约分即可，再把x=﹣1代入即可得出答案；

（2）先解两个不等式，再求解集的公共部分，把解集画在数轴上即可．

【解答】解：（1）原式=•

=，

把x=﹣1代入原式==﹣；

（2），

解①得x＜3，

解②得x≥﹣2，

把不等式组的解集画在数轴上，

不等式组的解集为﹣2≤x＜3．

【点评】本题考查了分式的化简求值以及解一元一次不等式组，分式的通分、因式分解以及不等式组解集的四种情况是解题的关键．

18．为了解某市七年级学生参加社会实践活动的情况，有关部门随机调查了该市部分七年级学生一学期参加社会实践活动的天数，并将调查结果绘制成下面的条形统计图和扇形统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）这次接受随机调查的学生有300人；

（2）请将上面的两幅图补充完整；

（3）被调查学生一学期参加社会实践活动天数的平均数是4.18天，中位数是4天，众数是4天；

（4）若该市七年级学生40000人，请根据调查结果估计：该市七年级学生中一学期参加综合实践活动的天数超过5天的学生大约有多少人？

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．

【分析】（1）根据2天的人数和所占的百分比即可求出随机调查的学生总数；

（2）用调查的总人数减去其它天数的人数求出参加社会实践活动5天的人数，从而补全统计图；

（3）根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案；

（4）用该市七年级学生的总数乘以参加综合实践活动的天数超过5天的学生所占的百分比即可得出答案．

【解答】解：（1）这次接受随机调查的学生有=300（人）；

故答案为：300；

（2）参加社会实践活动5天的人数是：300﹣30﹣75﹣90﹣36﹣24=45（人），

画图如下：

（3）被调查学生一学期参加社会实践活动天数的平均数是：（2×30+3×75+4×90+5×45+6×36+7×24）÷300=4.18 （天），

最中间两个数的平均数是（4+4）÷2=4，

则中位数是4天，

4出现了90次，出现的次数最多，

则众数是4天，

故答案为：4.18，4，4；

（4）根据题意得：

40000×（15%+8%+12%）=14000（人），

答：该市七年级学生中一学期参加综合实践活动的天数超过5天的学生大约有14000人．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

19．（1）请写出是旋转对称图形的两种多边形（正三角形除外）的名称，并分别写出其旋转角α的最小值；

（2）下面的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以图中给出的图案为基本图形（其顶点均在格点上），在图2、图3中再分别添加若干个基本图形，使添加的图形与原基本图形组成一个新图案，要求：

①图2中设计的图案既是旋转对称图形又是轴对称图形；

②图3中设计的图案是旋转对称图形，但不是中心对称图形；

③所设计的图案顶点都在格点上，并给图案上阴影（建议用一组平行线段表示阴影）．

【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．

【分析】（1）利用旋转对称图形的性质分别得出符合题意的答案；

（2）①利用旋转对称图形以及轴对称图形的性质得出符合题意的答案；

②利用旋转对称图形以及轴对称图形的性质得出符合题意的答案．

【解答】解：（1）正方形是旋转对称图形，最小旋转角为90°，

正六边形是旋转对称图形，最小旋转角为60°；

（2）①如图2所示：

②如图3所示：

【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案以及轴对称图形的性质，正确把握旋转对称图形的定义是解题关键．

20．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶即可到达B地．已知AC=120千米，∠A=30°，∠B=135°，求隧道开通后汽车从A地到B地行驶多少千米？

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】利用锐角三角函数关系得出CE，AE，BE的长，进而求出隧道开通后汽车从A地到B地行驶的路程．

【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，

∵∠A=30°，AC=120km，

∴EC=60km，AE=120×cos30°=60（km），

∵∠B=135°，

∴BE=EC=60km，

∴AB=60﹣60=60（﹣1）km，

答：隧道开通后汽车从A地到B地行驶60（﹣1）km．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，分别求出CE，AE，BE的长是解题关键．

21．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，以C为顶点在△ABC外侧作∠ACM=∠ABC．

（1）判断射线CM与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）延长BC到点D，使BC=CD，连接AD与⊙O交于点E，若AB=6，∠ABC=60°，则阴影部分的面积为3π﹣．

【考点】切线的判定；扇形面积的计算．

【专题】计算题．

【分析】（1）由AB为直径得到∠OCB+∠ACO=90°，加上∠B=∠OCB，∠B=∠ACM，则∠ACO+∠ACM=90°，所以OC⊥CM，于是根据切线的判定定理即可得到CM为⊙O的切线；

（2）在Rt△ACB=90°利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=AB=3，AC=BC=3，由OA=OC得到S△AOC=S△BOC，则可计算出S△AOC=S△ABC=，然后根据扇形面积公式和阴影部分的面积=S扇形AOC﹣S△AOC进行计算．

【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，即∠OCB+∠ACO=90°，

∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB，

而∠B=∠ACM，

∴∠ACO+∠ACM=90°，即∠OCM=90°，

∴OC⊥CM，

∴CM为⊙O的切线；

（2）∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴BC=AB=3，AC=BC=3，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°，S△AOC=S△BOC，

∴S△AOC=S△ABC=×××3=，

∴阴影部分的面积=S扇形AOC﹣S△AOC

=﹣

=3π﹣．

故答案为3π﹣．

【点评】本切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形的计算．

22．某城区为了改善全区中、小学办学条件，去年分三批为学校配备了教学器材，其中第三批共投入经费144000元．采购了电子白板16块和投影机8台．已知1块电子白板的单价比1台投影机的多3000元．

（1）求购买1块电子白板和一台投影机各需多少元？

（2）已知该区去年第一批教学器材投入经费为100000元，后续两批经费的增长率相同，试求该区去年教学器材投入的经费总额．

【考点】二元一次方程组的应用．

【分析】（1）可设购买1块电子白板需x元，购买一台投影机需y元，根据等量关系：①其中第三批共投入经费144000元．采购了电子白板16块和投影机8台；②已知1块电子白板的单价比1台投影机的多3000元；列出方程组求解即可；

（2）可设增长率为z，根据等量关系为：第一批教学器材投入经费×（1+增长率）2=第三批教学器材投入经费，把相关数值代入计算求得合适解即可．

【解答】解：（1）设购买1块电子白板需x元，购买一台投影机需y元，依题意有

，

解得．

答：购买1块电子白板需7000元，购买一台投影机需4000元；

（2）可设增长率为z，依题意有

100000（1+z）2=144000，

（1+z）2=1.44，

∵1+z＞0，

∴1+z=1.2，

∴z=20%．

100000+100000×（1+20%）+144000

=100000+120000+144000

=364000（元）．

答：该区去年教学器材投入的经费总额是364000元．

【点评】考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键；同时考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

23．问题情境：小彬、小颖和小明对一道教学问题进行研究．

已知，如图1，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是线段OC上一点，过点A作BE的垂线，交线段OB于点G，垂足为点F，易知：OG=OE．

变式探究：

分析完图1之后，小彬和小颖分别对此进行了研究，并提出了下面两个问题，请回答：

（1）小彬：如图2，将图1中的点E改为线段OC延长线上的一点，过点A作BE 垂线，交OB的延长线于点G，垂足为点F．求证：OG=OE．

（2）小颖：如图3，将图中的“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，且∠ABC=60°，其余条件不变，试求的值．

拓展延伸：

（3）小明解决完上述问题后，又提出了如下问题：如图4，将图3中的“∠ABC=60°”改为“∠ABC=α”，并且点E，G分别在OC，OB的延长线上，其余条件不变，直接用含“α”的式子表示的值．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）证明△AOG≌△BOE，根据全等三角形的性质证明即可；

（2）证明△AOG∽△BOE，再根据∠ABC=60°求出的值，得到答案；

（3）证明△AOG∽△BOE，再根据∠ABC=α求出的值，得到答案．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴OA=OB，AC⊥BD，

∴∠AOG=90°，

∴∠AGO+∠GAO=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠E+∠GAO=90°，

∴∠AGO=∠E，

在△AOG和△BOE中，

∴△AOG≌△BOE，

∴OG=OE．

（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴∠ABO=30°，

∴=，

四边形ABCD为菱形，

∴∠BOE=90°，

∴∠OBE+∠OEB=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠EAF+∠OEB=90°，

∴∠EAF=∠OBE，

∠BOE=∠AOG=90°，

∴△AOG∽△BOE，

∴==，

（3）解：在菱形ABCD中，∠ABC=α，

∴∠ABO=，

∴=tan，

同（2），∴△AOG∽△BOE，

∴==tan．

【点评】本题考查的是正方形、菱形的性质和相似三角形的判定和性质的应用，正确运用正方形的对角线相等、垂直且互相平分，菱形的对角线互相垂直且平分，以及两个角相等的两个三角形相似解题的关键．

24．如图1，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣3），过点B，C的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点D，E（D在E的左侧），直线DC与线段AB交于点F．

（1）求抛物线y=x2+bx+c的表达式；

（2）求点F的坐标；

（3）如图2，设动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿射线ED运动，过点P作直线DC的平行线l，过点F作x轴的平行线，交直线l于点Q．设点P的运动时间为t秒．

①当点P在射线ED上运动时，四边形PQFD能否成为菱形？若能，求出相应的t的值；若不能，说明理由；

②当0≤t≤4时，设四边形PQFD与四边形ODBC重合部分的面积为S，直接写出S与t的函数关系式以及相应的自变量t的取值范围．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据待定系数法即可解决．

（2）求出直线CD就可以确定点F坐标．

（3）①由DP∥FQ，DF∥PQ得四边形DFQP是平行四边形，所以当DP=DF时，四边形DFQP是菱形，列出方程即可解决．

②根据0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t≤4三种情形讨论即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣2，﹣3），C（0，﹣3），

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3．

（2）令y=0，则x2+2x﹣3=0解得x=﹣3或1，

∴点D（﹣3，0），点E（﹣1，0）．设直线CD为y=kx+b，由题意解得，

∴直线CD为y=﹣x﹣3，

∵点F在AB上，

∴点F的横坐标为﹣2，

在直线y=﹣x﹣3上，∵x=﹣2时，y=﹣1，

∴点F（﹣2，﹣1）．

（3）①能，理由如下：

∵DP∥FQ，DF∥PQ，

∴四边形DFQP是平行四边形，

∴当DP=DF时，四边形DFQP是菱形，

∵AD=AF=1，

∴DF=

∴4﹣t=，

∴t=4﹣，

∴t=4﹣时，四边形DFQP是菱形．

②当0＜t≤1时，如图1，

s=s梯形OHDF=（3+2）×1=．

当1＜t≤2时，如图2，

s=s梯形OHDF﹣s△POG=﹣（t﹣1）2=﹣t2+t+2．

当2＜t≤4时，如图3，

s=s平行四边形PQFD=（4﹣t）×1=﹣t+4．

综上所述：s=．

【点评】本题考查二次函数、一次函数的有关知识，平行四边形、菱形、矩形的判定和性质，求重叠部分面积时，需要正确画出图象确定自变量的取值范围，然后根据图象求出相应的面积．

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