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2017年大连市中考数学试题(word版,含答案)

2017-10-18 15:38:42文/赵妍妍

 

2017年大连市中考数学试题

 

一、2017年大连市中考数学试题选择题(每小题3分,共24分)

1.在实数﹣1,0,3,www.ziyuanku.com中,最大的数是(  )

A.﹣1              B.0              C.3              D.www.ziyuanku.com

2.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是(  )

www.ziyuanku.com

A.圆锥              B.长方体              C.圆柱              D.球

3.计算www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com的结果是(  )

A.www.ziyuanku.com              B.www.ziyuanku.com              C.www.ziyuanku.com              D.www.ziyuanku.com

4.计算(﹣2a3)2的结果是(  )

A.﹣4a5              B.4a5              C.﹣4a6              D.4a6

5.如图,直线a,b被直线c所截,若直线a∥b,∠1=108°,则∠2的度数为(  )

www.ziyuanku.com

A.108°              B.82°              C.72°              D.62°

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,两枚硬币全部正面向上的概率为(  )

A.www.ziyuanku.com              B.www.ziyuanku.com              C.www.ziyuanku.com              D.www.ziyuanku.com

7.在平面直角坐标系xOy中,线段AB的两个端点坐标分别为A(﹣1,﹣1),B(1,2),平移线段AB,得到线段A′B′,已知A′的坐标为(3,﹣1),则点B′的坐标为(  )

A.(4,2)              B.(5,2)              C.(6,2)              D.(5,3)

8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为(  )

www.ziyuanku.com

A.2a              B.2www.ziyuanku.coma              C.3a              D.www.ziyuanku.com

 

二、2017年大连市中考数学试题填空题(每小题3分,共24分)

9.计算:﹣12÷3=     .

10.下表是某校女子排球队队员的年龄分布:

年龄/岁

13

14

15

16

人数

1

4

5

2

则该校女子排球队队员年龄的众数是     岁.

11.五边形的内角和为     .

12.如图,在⊙O中,弦AB=8cm,OC⊥AB,垂足为C,OC=3cm,则⊙O的半径为     cm.

www.ziyuanku.com

13.关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根,则c的取值范围为     .

14.某班学生去看演出,甲种票每张30元,乙种票每张20元,如果36名学生购票恰好用去860元,设甲种票买了x张,乙种票买了y张,依据题意,可列方程组为     .

15.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔86n  mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,此时,B处与灯塔P的距离约为     n  mile.(结果取整数,参考数据:www.ziyuanku.com≈1.7,www.ziyuanku.com≈1.4)

www.ziyuanku.com

16.在平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,m)、(3,m+2),直线y=2x+b与线段AB有公共点,则b的取值范围为     (用含m的代数式表示).

三、2017年大连市中考数学试题解答题(17-19题各9分,20题12分,共39分)

17.计算:(www.ziyuanku.com +1)2﹣www.ziyuanku.com+(﹣2)2

18.解不等式组:www.ziyuanku.com

19.如图,在▱ABCD中,BE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,DF⊥AC,垂足F在AC的延长线上,求证:AE=CF.

www.ziyuanku.com

20.某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机选取该校部分学生进行调查,要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目,以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.

类别

A

B

C

D

E

节目类型

新闻

体育

动画

娱乐

戏曲

人数

12

30

m

54

9

请你根据以上的信息,回答下列问题:

(1)被调查学生中,最喜爱体育节目的有     人,这些学生数占被调查总人数的百分比为     %.

(2)被调查学生的总数为     人,统计表中m的值为     ,统计图中n的值为     .

(3)在统计图中,E类所对应扇形的圆心角的度数为     .

(4)该校共有2000名学生,根据调查结果,估计该校最喜爱新闻节目的学生数.

www.ziyuanku.com

 

四、2017年大连市中考数学试题解答题(21、22小题各9分,23题10分,共28分)

21.某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件,现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同,原计划平均每天生产多少个零件?

22.如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=www.ziyuanku.com经过▱ABCD的顶点B,D.点D的坐标为(2,1),点A在y轴上,且AD∥x轴,S▱ABCD=5.

(1)填空:点A的坐标为     ;

(2)求双曲线和AB所在直线的解析式.

www.ziyuanku.com

23.如图,AB是⊙O直径,点C在⊙O上,AD平分∠CAB,BD是⊙O的切线,AD与BC相交于点E.

(1)求证:BD=BE;

(2)若DE=2,BD=www.ziyuanku.com,求CE的长.

www.ziyuanku.com

 

五、2017年大连市中考数学试题解答题(24题11分,25、26题各12分,共35分)

24.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D,E分别在AC,BC上(点D与点A,C不重合),且∠DEC=∠A,将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′.当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P,Q(点P与点Q不重合)时,设CD=x,PQ=y.

(1)求证:∠ADP=∠DEC;

(2)求y关于x的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围.

25.如图1,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,∠ABD+∠ADB=∠ACB.

(1)填空:∠BAD与∠ACB的数量关系为     ;

(2)求www.ziyuanku.com的值;

(3)将△ACD沿CD翻折,得到△A′CD(如图2),连接BA′,与CD相交于点P.若CD=www.ziyuanku.com,求PC的长.

www.ziyuanku.com

26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,且经过点A(0,www.ziyuanku.com

(1)若此抛物线经过点B(2,﹣www.ziyuanku.com),且与x轴相交于点E,F.

①填空:b=     (用含a的代数式表示);

②当EF2的值最小时,求抛物线的解析式;

(2)若a=www.ziyuanku.com,当0<x<1,抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时,求b的值.

 2017年辽宁省大连市中考数学试卷参考答案 

一、选择题(每小题3分,共24分)

1.在实数﹣1,0,3,www.ziyuanku.com中,最大的数是(  )

A.﹣1              B.0              C.3              D.www.ziyuanku.com

【考点】2A:实数大小比较.

【分析】根据正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数进行比较即可.

【解答】解:在实数﹣1,0,3,www.ziyuanku.com中,最大的数是3,

故选:C.

 

2.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是(  )

www.ziyuanku.com

A.圆锥              B.长方体              C.圆柱              D.球

【考点】U3:由三视图判断几何体.

【分析】根据主视图与左视图,主视图与俯视图的关系,可得答案.

【解答】解:由主视图与左视图都是高平齐的矩形,主视图与俯视图都是长对正的矩形,得

几何体是矩形,

故选:B.

 

3.计算www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com的结果是(  )

A.www.ziyuanku.com              B.www.ziyuanku.com              C.www.ziyuanku.com              D.www.ziyuanku.com

【考点】6B:分式的加减法.

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.

【解答】解:原式=www.ziyuanku.com

=www.ziyuanku.com

故选(C)

 

4.计算(﹣2a3)2的结果是(  )

A.﹣4a5              B.4a5              C.﹣4a6              D.4a6

【考点】47:幂的乘方与积的乘方.

【分析】根据幂的乘方和积的乘方进行计算即可.

【解答】解:原式=4a6,

故选D.

 

5.如图,直线a,b被直线c所截,若直线a∥b,∠1=108°,则∠2的度数为(  )

www.ziyuanku.com

A.108°              B.82°              C.72°              D.62°

【考点】JA:平行线的性质.

【分析】两直线平行,同位角相等.再根据邻补角的性质,即可求出∠2的度数.

【解答】解:∵a∥b,

∴∠1=∠3=108°,

∵∠2+∠3=180°,

∴∠2=72°,

即∠2的度数等于72°.

故选:C.

www.ziyuanku.com

 

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币,两枚硬币全部正面向上的概率为(  )

A.www.ziyuanku.com              B.www.ziyuanku.com              C.www.ziyuanku.com              D.www.ziyuanku.com

【考点】X6:列表法与树状图法.

【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数,再找出两枚硬币全部正面向上的结果数,然后根据概率公式求解.

【解答】解:画树状图为:

www.ziyuanku.com

共有4种等可能的结果数,其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1,

所以两枚硬币全部正面向上的概率=www.ziyuanku.com

故答案为www.ziyuanku.com

 

7.在平面直角坐标系xOy中,线段AB的两个端点坐标分别为A(﹣1,﹣1),B(1,2),平移线段AB,得到线段A′B′,已知A′的坐标为(3,﹣1),则点B′的坐标为(  )

A.(4,2)              B.(5,2)              C.(6,2)              D.(5,3)

【考点】Q3:坐标与图形变化﹣平移.

【分析】根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段AB向右平移4个单位,然后可得B′点的坐标.

【解答】解:∵A(﹣1,﹣1)平移后得到点A′的坐标为(3,﹣1),

∴向右平移4个单位,

∴B(1,2)的对应点坐标为(1+4,2),

即(5,2).

故选:B.

8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为(  )

www.ziyuanku.com

A.2a              B.2www.ziyuanku.coma              C.3a              D.www.ziyuanku.com

【考点】KP:直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据勾股定理得到CE=www.ziyuanku.coma,根据直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解:∵CD⊥AB,CD=DE=a,

∴CE=www.ziyuanku.coma,

∵在△ABC中,∠ACB=90°,点E是AB的中点,

∴AB=2CE=2www.ziyuanku.coma,

故选B.

 

二、填空题(每小题3分,共24分)

9.计算:﹣12÷3= ﹣4 .

【考点】1D:有理数的除法.

【分析】原式利用异号两数相除的法则计算即可得到结果.

【解答】解:原式=﹣4.

故答案为:﹣4

10.下表是某校女子排球队队员的年龄分布:

年龄/岁

13

14

15

16

人数

1

4

5

2

则该校女子排球队队员年龄的众数是 15 岁.

【考点】W5:众数.

【分析】根据表格中的数据确定出人数最多的队员年龄确定出众数即可.

【解答】解:根据表格得:该校女子排球队队员年龄的众数是15岁,

故答案为:15

 

11.五边形的内角和为 540° .

【考点】L3:多边形内角与外角.

【分析】根据多边形的内角和公式(n﹣2)•180°计算即可.

【解答】解:(5﹣2)•180°=540°.

故答案为:540°.

12.如图,在⊙O中,弦AB=8cm,OC⊥AB,垂足为C,OC=3cm,则⊙O的半径为 5 cm.

www.ziyuanku.com

【考点】M2:垂径定理;KQ:勾股定理.

【分析】先根据垂径定理得出AC的长,再由勾股定理即可得出结论.

【解答】解:连接OA,

∵OC⊥AB,AB=8,

∴AC=4,

∵OC=3,

∴OA=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=5.

故答案为:5.

www.ziyuanku.com

 

13.关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根,则c的取值范围为 c<1 .

【考点】AA:根的判别式.

【分析】根据方程的系数结合根的判别式,即可得出关于c的一元一次不等式,解之即可得出结论.

【解答】解:∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根,

∴△=22﹣4c=4﹣4c>0,

解得:c<1.

故答案为:c<1.

14.某班学生去看演出,甲种票每张30元,乙种票每张20元,如果36名学生购票恰好用去860元,设甲种票买了x张,乙种票买了y张,依据题意,可列方程组为 www.ziyuanku.com .

【考点】99:由实际问题抽象出二元一次方程组.

【分析】设甲种票买了x张,乙种票买了y张,根据“36名学生购票恰好用去860元”作为相等关系列方程组.

【解答】解:设甲种票买了x张,乙种票买了y张,根据题意,得:

www.ziyuanku.com

故答案为www.ziyuanku.com

 

15.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔86n  mile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,此时,B处与灯塔P的距离约为 102 n  mile.(结果取整数,参考数据:www.ziyuanku.com≈1.7,www.ziyuanku.com≈1.4)

www.ziyuanku.com

【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题;KU:勾股定理的应用.

【分析】根据题意得出∠MPA=∠PAD=60°,从而知PD=AP•sin∠PAD=43www.ziyuanku.com,由∠BPD=∠PBD=45°根据BP=www.ziyuanku.com,即可求出即可.

【解答】解:过P作PD⊥AB,垂足为D,

www.ziyuanku.com

∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向,距离灯塔86n mile的A处,

∴∠MPA=∠PAD=60°,

∴PD=AP•sin∠PAD=86×www.ziyuanku.com=43www.ziyuanku.com

∵∠BPD=45°,

∴∠B=45°.

在Rt△BDP中,由勾股定理,得

BP=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=43www.ziyuanku.com×www.ziyuanku.com≈102(n mile).

故答案为:102.

 

16.在平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(3,m)、(3,m+2),直线y=2x+b与线段AB有公共点,则b的取值范围为 m﹣6≤b≤m﹣4 (用含m的代数式表示).

【考点】FF:两条直线相交或平行问题.

【分析】由点的坐标特征得出线段AB∥y轴,当直线y=2x+b经过点A时,得出b=m﹣6;当直线y=2x+b经过点B时,得出b=m﹣4;即可得出答案.

【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(3,m)、(3,m+2),

∴线段AB∥y轴,

当直线y=2x+b经过点A时,6+b=m,则b=m﹣6;

当直线y=2x+b经过点B时,6+b=m+2,则b=m﹣4;

∴直线y=2x+b与线段AB有公共点,则b的取值范围为m﹣6≤b≤m﹣4;

故答案为:m﹣6≤b≤m﹣4.

 

三、2017年大连市中考数学试题解答题(17-19题各9分,20题12分,共39分)

17.计算:(www.ziyuanku.com +1)2﹣www.ziyuanku.com+(﹣2)2.

【考点】79:二次根式的混合运算.

【分析】首先利用完全平方公式计算乘方,化简二次根式,乘方,然后合并同类二次根式即可.

【解答】解:原式=3+2www.ziyuanku.com﹣2www.ziyuanku.com+4

=7.

18.解不等式组:www.ziyuanku.com

【考点】CB:解一元一次不等式组.

【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.

【解答】解:解不等式2x﹣3>1,得:x>2,

解不等式www.ziyuanku.comwww.ziyuanku.com﹣2,得:x<4,

∴不等式组的解集为2<x<4

19.如图,在▱ABCD中,BE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,DF⊥AC,垂足F在AC的延长线上,求证:AE=CF.

www.ziyuanku.com

【考点】L5:平行四边形的性质;KD:全等三角形的判定与性质.

【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD,AB=CD,由平行线的性质得出得出∠BAC=∠DCA,证出∠EAB=∠FAD,∠BEA=∠DFC=90°,由AAS证明△BEA≌△DFC,即可得出结论.

【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,AB=CD,

∴∠BAC=∠DCA,

∴180°﹣∠BAC=180°﹣∠DCA,

∴∠EAB=∠FAD,

∵BE⊥AC,DF⊥AC,

∴∠BEA=∠DFC=90°,

在△BEA和△DFC中,www.ziyuanku.com

∴△BEA≌△DFC(AAS),

∴AE=CF.

20.某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况,随机选取该校部分学生进行调查,要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目,以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.

类别

A

B

C

D

E

节目类型

新闻

体育

动画

娱乐

戏曲

人数

12

30

m

54

9

请你根据以上的信息,回答下列问题:

(1)被调查学生中,最喜爱体育节目的有 30 人,这些学生数占被调查总人数的百分比为 20 %.

(2)被调查学生的总数为 150 人,统计表中m的值为 45 ,统计图中n的值为 36 .

(3)在统计图中,E类所对应扇形的圆心角的度数为 21.6° .

(4)该校共有2000名学生,根据调查结果,估计该校最喜爱新闻节目的学生数.

www.ziyuanku.com

【考点】VB:扇形统计图;V5:用样本估计总体;VA:统计表.

【分析】(1)观察图表休息即可解决问题;

(2)根据百分比=www.ziyuanku.com,计算即可;

(3)根据圆心角=360°×百分比,计算即可;

(4)用样本估计总体的思想解决问题即可;

【解答】解:(1)最喜爱体育节目的有 30人,这些学生数占被调查总人数的百分比为 20%.

故答案为30,20.

(2)总人数=30÷20%=150人,

m=150﹣12﹣30﹣54﹣9=45,

n%=www.ziyuanku.com×100%=36%,即n=36,

故答案为150,45,36.

(3)E类所对应扇形的圆心角的度数=360°×www.ziyuanku.com=21.6°.

故答案为21.6°

 

(4)估计该校最喜爱新闻节目的学生数为2000×www.ziyuanku.com=160人.

答:估计该校最喜爱新闻节目的学生数为160人.

四、2017年大连市中考数学试题解答题(21、22小题各9分,23题10分,共28分)

21.某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件,现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同,原计划平均每天生产多少个零件?

【考点】B7:分式方程的应用.

【分析】设原计划平均每天生产x个零件,现在平均每天生产(x+25)个零件,根据现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论.

【解答】解:设原计划平均每天生产x个零件,现在平均每天生产(x+25)个零件,

根据题意得:www.ziyuanku.com =www.ziyuanku.com

解得:x=75,

经检验,x=75是原方程的解.

答:原计划平均每天生产75个零件.

22.如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y=www.ziyuanku.com经过▱ABCD的顶点B,D.点D的坐标为(2,1),点A在y轴上,且AD∥x轴,S▱ABCD=5.

(1)填空:点A的坐标为 (0,1) ;

(2)求双曲线和AB所在直线的解析式.

www.ziyuanku.com

【考点】G7:待定系数法求反比例函数解析式;FA:待定系数法求一次函数解析式;G5:反比例函数系数k的几何意义;L5:平行四边形的性质.

【分析】(1)由D得坐标以及点A在y轴上,且AD∥x轴即可求得;

(2)由平行四边形得面积求得AE得长,即可求得OE得长,得到B得纵坐标,代入反比例函数得解析式求得B得坐标,然后根据待定系数法即可求得AB所在直线的解析式.

【解答】解:(1)∵点D的坐标为(2,1),点A在y轴上,且AD∥x轴,

∴A(0,1);

故答案为(0,1);

(2)∵双曲线y=www.ziyuanku.com经过点D(2,1),

∴k=2×1=2,

∴双曲线为y=www.ziyuanku.com

∵D(2,1),AD∥x轴,

∴AD=2,

∵S▱ABCD=5,

∴AE=www.ziyuanku.com

∴OE=www.ziyuanku.com

∴B点纵坐标为﹣www.ziyuanku.com

把y=﹣www.ziyuanku.com代入y=www.ziyuanku.com得,﹣www.ziyuanku.com =www.ziyuanku.com,解得x=﹣www.ziyuanku.com

∴B(﹣www.ziyuanku.com,﹣www.ziyuanku.com),

设直线AB得解析式为y=ax+b,

代入A(0,1),B(﹣www.ziyuanku.com,﹣www.ziyuanku.com)得:www.ziyuanku.com

解得www.ziyuanku.com

∴AB所在直线的解析式为y=www.ziyuanku.comx+1.

www.ziyuanku.com

 

23.如图,AB是⊙O直径,点C在⊙O上,AD平分∠CAB,BD是⊙O的切线,AD与BC相交于点E.

(1)求证:BD=BE;

(2)若DE=2,BD=www.ziyuanku.com,求CE的长.

www.ziyuanku.com

【考点】MC:切线的性质;KQ:勾股定理;T7:解直角三角形.

【分析】(1))设∠BAD=α,由于AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAD=α,进而求出∠D=∠BED=90°﹣α,从而可知BD=BE;

(2)设CE=x,由于AB是⊙O的直径,∠AFB=90°,又因为BD=BE,DE=2,FE=FD=1,由于BD=www.ziyuanku.com,所以tanα=www.ziyuanku.com,从而可求出AB=www.ziyuanku.com=2www.ziyuanku.com,利用勾股定理列出方程即可求出x的值.

【解答】解:(1)设∠BAD=α,

∵AD平分∠BAC

∴∠CAD=∠BAD=α,

∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,

∴∠ABC=90°﹣2α,

∵BD是⊙O的切线,

∴BD⊥AB,

∴∠DBE=2α,

∠BED=∠BAD+∠ABC=90°﹣α,

∴∠D=180°﹣∠DBE﹣∠BED=90°﹣α,

∴∠D=∠BED,

∴BD=BE

(2)设AD交⊙O于点F,CE=x,则AC=2x,连接BF,

∵AB是⊙O的直径,

∴∠AFB=90°,

∵BD=BE,DE=2,

∴FE=FD=1,

∵BD=www.ziyuanku.com

∴tanα=www.ziyuanku.com

∴AB=www.ziyuanku.com=2www.ziyuanku.com

在Rt△ABC中,

由勾股定理可知:(2x)2+(x+www.ziyuanku.com)2=(2www.ziyuanku.com)2,

∴解得:x=﹣www.ziyuanku.com或x=www.ziyuanku.com

∴CE=www.ziyuanku.com

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五、解答题(24题11分,25、26题各12分,共35分)

24.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D,E分别在AC,BC上(点D与点A,C不重合),且∠DEC=∠A,将△DCE绕点D逆时针旋转90°得到△DC′E′.当△DC′E′的斜边、直角边与AB分别相交于点P,Q(点P与点Q不重合)时,设CD=x,PQ=y.

(1)求证:∠ADP=∠DEC;

(2)求y关于x的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围.

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【考点】R2:旋转的性质;E3:函数关系式;LD:矩形的判定与性质;T7:解直角三角形.

【分析】(1)根据等角的余角相等即可证明;

(2)分两种情形①如图1中,当C′E′与AB相交于Q时,即www.ziyuanku.com<x≤www.ziyuanku.com时,过P作MN∥DC′,设∠B=α.②当DC′交AB于Q时,即www.ziyuanku.com<x<3时,如图2中,作PM⊥AC于M,PN⊥DQ于N,则四边形PMDN是矩形,分别求解即可;

【解答】(1)证明:如图1中,

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∵∠EDE′=∠C=90°,

∴∠ADP+∠CDE=90°,∠CDE+∠DEC=90°,

∴∠ADP=∠DEC.

 

(2)解:如图1中,当C′E′与AB相交于Q时,即www.ziyuanku.com<x≤www.ziyuanku.com时,过P作MN∥DC′,设∠B=α

∴MN⊥AC,四边形DC′MN是矩形,

∴PM=PQ•cosα=www.ziyuanku.comy,PN=www.ziyuanku.com×www.ziyuanku.com(3﹣x),

www.ziyuanku.com(3﹣x)+www.ziyuanku.comy=x,

∴y=www.ziyuanku.comx﹣www.ziyuanku.com

当DC′交AB于Q时,即www.ziyuanku.com<x<3时,如图2中,作PM⊥AC于M,PN⊥DQ于N,则四边形PMDN是矩形,

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∴PN=DM,

∵DM=www.ziyuanku.com(3﹣x),PN=PQ•sinα=www.ziyuanku.comy,

www.ziyuanku.com(3﹣x)=www.ziyuanku.comy,

∴y=﹣www.ziyuanku.comx+www.ziyuanku.com

综上所述,y=www.ziyuanku.com

 

25.如图1,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,OC=OA+AB,AD=m,BC=n,∠ABD+∠ADB=∠ACB.

(1)填空:∠BAD与∠ACB的数量关系为 ∠BAD+∠ACB=180° ;

(2)求www.ziyuanku.com的值;

(3)将△ACD沿CD翻折,得到△A′CD(如图2),连接BA′,与CD相交于点P.若CD=www.ziyuanku.com,求PC的长.

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【考点】RB:几何变换综合题.

【分析】(1)在△ABD中,根据三角形的内角和定理即可得出结论:∠BAD+∠ACB=180°;

(2)如图1中,作DE∥AB交AC于E.由△OAB≌△OED,可得AB=DE,OA=OE,设AB=DE=CE=CE=x,OA=OE=y,由△EAD∽△ABC,推出www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com,可得www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com,可得4y2+2xy﹣x2=0,即(www.ziyuanku.com)2+www.ziyuanku.com﹣1=0,求出www.ziyuanku.com的值即可解决问题;

(3)如图2中,作DE∥AB交AC于E.想办法证明△PA′D∽△PBC,可得www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com,可得www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com,即www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com,由此即可解决问题;

【解答】解:(1)如图1中,

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在△ABD中,∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°,

又∵∠ABD+∠ADB=∠ACB,

∴∠BAD+∠ACB=180°,

故答案为∠BAD+∠ACB=180°.

 

(2)如图1中,作DE∥AB交AC于E.

∴∠DEA=∠BAE,∠OBA=∠ODE,

∵OB=OD,

∴△OAB≌△OED,

∴AB=DE,OA=OE,设AB=DE=CE=CE=x,OA=OE=y,

∵∠EDA+∠DAB=180°,∠BAD+∠ACB=180°,

∴∠EDA=∠ACB,

∵∠DEA=∠CAB,

∴△EAD∽△ABC,

www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com

∴4y2+2xy﹣x2=0,

∴(www.ziyuanku.com)2+www.ziyuanku.com﹣1=0,

www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com(负根已经舍弃),

www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com

 

(3)如图2中,作DE∥AB交AC于E.

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由(1)可知,DE=CE,∠DCA=∠DCA′,

∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′,

∴DE∥CA′∥AB,

∴∠ABC+∠A′CB=180°,

∵△EAD∽△ACB,

∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C,

∴∠DA′C+∠A′CB=180°,

∴A′D∥BC,

∴△PA′D∽△PBC,

www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com

www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com,即www.ziyuanku.com=www.ziyuanku.com

∵CD=www.ziyuanku.com

∴PC=1.

 

26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,且经过点A(0,www.ziyuanku.com

(1)若此抛物线经过点B(2,﹣www.ziyuanku.com),且与x轴相交于点E,F.

①填空:b= ﹣2a﹣1 (用含a的代数式表示);

②当EF2的值最小时,求抛物线的解析式;

(2)若a=www.ziyuanku.com,当0<x<1,抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时,求b的值.

【考点】HF:二次函数综合题.

【分析】(1)①由A点坐标可求得c,再把B点坐标代入可求得b与a的关系式,可求得答案;②用a可表示出抛物线解析式,令y=0可得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系可用a表示出EF的值,再利用函数性质可求得其取得最小值时a的值,可求得抛物线解析式;

(2)可用b表示出抛物线解析式,可求得其对称轴为x=﹣b,由题意可得出当x=0、x=1或x=﹣b时,抛物线上的点可能离x轴最远,可分别求得其函数值,得到关于b的方程,可求得b的值.

【解答】解:

(1)①∵抛物线y=ax2+bx+c的开口向上,且经过点A(0,www.ziyuanku.com),

∴c=www.ziyuanku.com

∵抛物线经过点B(2,﹣www.ziyuanku.com),

∴﹣www.ziyuanku.com=4a+2b+www.ziyuanku.com

∴b=﹣2a﹣1,

故答案为:﹣2a﹣1;

②由①可得抛物线解析式为y=ax2﹣(2a+1)x+www.ziyuanku.com

令y=0可得ax2﹣(2a+1)x+www.ziyuanku.com=0,

∵△=(2a+1)2﹣4a×www.ziyuanku.com=4a2﹣2a+1=4(a﹣www.ziyuanku.com)2+www.ziyuanku.com>0,

∴方程有两个不相等的实数根,设为x1、x2,

∴x1+x2=www.ziyuanku.com,x1x2=www.ziyuanku.com

∴EF2=(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=www.ziyuanku.com=(www.ziyuanku.com﹣1)2+3,

∴当a=1时,EF2有最小值,即EF有最小值,

∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+www.ziyuanku.com

(2)当a=www.ziyuanku.com时,抛物线解析式为y=www.ziyuanku.comx2+bx+www.ziyuanku.com

∴抛物线对称轴为x=﹣b,

∴只有当x=0、x=1或x=﹣b时,抛物线上的点才有可能离x轴最远,

当x=0时,y=www.ziyuanku.com,当x=1时,y=www.ziyuanku.com+b+www.ziyuanku.com=2+b,当x=﹣b时,y=www.ziyuanku.com(﹣b)2+b(﹣b)+www.ziyuanku.com=﹣www.ziyuanku.comb2+www.ziyuanku.com

①当|2+b|=3时,b=1或b=﹣5,且顶点不在0<x<1范围内,满足条件;

②当|﹣www.ziyuanku.comb2+www.ziyuanku.com|=3时,b=±3,对称轴为直线x=±3,不在0<x<1范围内,故不符合题意,

综上可知b的值为1或﹣5.

 

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