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二项式定理系数

2020-07-20 10:50:28文/董玉莹

二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664、1665年间提出。在数学里,二项式系数,或组合数,是定义为形如(1+x)ⁿ展开后x的系数(其中n为自然数,k为整数)。

二项式定理系数

二项式系数对组合数学很重要,因它的意义是从n件物件中,不分先后地选取k件的方法总数,因此也叫做组合数。从定义出发,把n个(1+x)项的乘积展开,其中任意k项的x和n−k项的1相乘得出一个x,故此x的系数是从n个选取k个的方法总数。把各项的x标记可以更清楚看出:当n=4, k=2时,

二项式定理系数

二项式系数是杨辉三角的第n+1行从左起第k+1个数,它最先由杨辉发现。

二项式系数符合等式可以由其公式证出,也可以从其在组合数学的意义推导出来。如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数,这些方法可分为没有选取第n+1件,即是从其余n件选取k件;和有选取第n+1件,即是从其余n件选取k−1件。而第二式则是每个从n件选取k件的方法,也可看为选取其余n−k件的方法。

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